. 空间向量在度量问题中的应用

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1、空间向量在立体几何中的应用2一、教学目标：知识与技能:1）掌握向量方法解决立体几何相关问题的一般步骤（“三步曲”）。2）初步了解如何依据已知条件建立适当的空间直角坐标系，并能用“坐标法”解决一些简单的立体几何问题。过程与方法:1）让学生经历向量法解决立体几何相关问题的一般过程，初步认识向量方法解决立体几何问题的优势。2）在解题过程中，让学生领悟类比思想和转化思想在解题中的应用。3）在解题中融入数学建模思想，增强学生的数学应用意识，提高学生的抽象概括能力。情态与价值:以例题讲练为学习载体，促使学生形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辩证唯物主义观点，培养学生

2、勇于探索的精神和创新意识。二、教学重、难点：重点：掌握向量方法解决立体几何相关问题的一般步骤。（“三步曲”）难点：建立空间图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题。三、学法与教学用具1、学法：创设情景，让学生在对比、观察，讨论的过程中，完成对新知识的探究；通过例2的学习，让学生在体会知识与生活密切联系的同时，初步认识解决实际问题时所经历的建立模型---解决模型的数学建模过程，提高学生分析和解决问题的能力。2、教学用具：多媒体投影仪四、教学思路：（一）复习巩固，温故知新通过对向量的学习我们了解到向量是沟通代数、几何与三角函数的工具之一，向量在平面几

3、何的证明中也扮演着重要的角色，那么怎样用空间向量的知识完成立体几何证明？今天我们就来学习：立体几何中的空间向量。首先我们来回顾空间向量的相关知识。教师提问：1、向量垂直的条件1、向量及向量运算的坐标表示3、空间几何元素位置关系的坐标表示（二）研探新知基本要求：1空间向量与异面直线夹角在立几中，要求两异面直线的夹角，可以通过两向量的夹角公式来求得，但要注意异面直线的夹角只能为锐角或直角。yzNBCC11B11AA11Mx例1（2000年高考新课程卷试题）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1的底面三角形ABC中，CA=CB=1，∠BCA=900，棱AA1=2，M、N

4、分别是A1B1、A1A的中点。（1）求的长；（2）求的值。解：以C为原点建立如图空间直角坐标系，（1）B（0，1，0），N（1，0，1），∴（2）∴，且，∴。2空间向量与线面垂直问题设非零向量，，运用该结论可较快地处理立几中的线线垂直与线面垂直问题。例2如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，M是棱AA1的中点，点O是对角线BD1的中点。（1）求证：BD1⊥AC；（2）求证：OM是异面直线AA1与BD1的公垂线。证明：以D为原点，DC、DA、DD1所在的直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0),C(1,0,0),B(

5、1,1,0),D1(0,0,1),M(0,1,),O(,,)。（1），，∴，∴，即BD1⊥AC。（2），因为，，所以OM⊥AA1，OM⊥BD1，即OM是异面直线AA1与BD1的公垂线。3空间向量与线面平行问题向量与非零向量平行的充要条件是存在唯一的实数，使。如果平面外直线的方向向量与平面内一直线的方向向量平行，则线面平行；如果两平面α与β的法向量平行，则α∥β。FEMzyADCBA11B11C11D11xN例3如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，E、F分别是棱B1C1、C1D1的中点。求证：（1）E、F、B、D四

6、点共面；（2）平面AMN∥平面BDFE。证明：以D为原点，DC、DA、DD1所在的直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系。设正方体棱长为1，则A(1,0,0),M(1,,1),N(,0,1),E(,1,1),F(0,,1)（1）∴，即E、F、B、D四点共面。（2）设是平面BDFE的一个法向量，则∴可取是平面BDFE的一个法向量。易验证，，∴。即也是平面AMN的一个法向量，∴平面AMN∥平面BDFE。4空间向量与二面角计算设二面角的大小为，分别为两平面的法向量，则或者（如何选择要根据是锐角或钝角来决定）。运用二面角的向量计算公式，只凭坐标运算而不需添

7、加辅助线，可轻松获解。例4（2001年全国高考试题）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC=900，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=。（1）四棱锥S—ABCD的体积；（2）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。zyASBDCx分析：易得AD⊥平面SAB，VS-ABCD=。下面解决第（2）小题，它是一个“棱”没有完全给出的二面角问题，用向量法解决如下。解：以AD、AB、AS分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B（0,1,0），C（1,1,0），D（,0,0），S（0,0,1），∴。∵AD⊥

8、面SAB，∴就是平面SAB的一个法向量