向量解法在立体几何问题中的运用【精选】.doc

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1、立体几何问题的向量解法一、空间直角坐标系相关知识1.空间育角坐标系设7,亍，斤是共起点o的三个两两垂肓的单位向量，分别以7,.7,/的方向为正方向建立三条数轴：x轴、尹轴、Z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-卩Z,点O叫做原点，x轴叫做横轴，y轴叫做纵轴，z轴叫做竖轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOv平面，yOz平面，zOx平面.对于空间任一点宜,对应一个向量CM,存在唯一的冇序实数组兀、”、z,使OA=xi+yj+zk・把实数组(x,y,z)叫做点A在此空间右•角坐标系屮的坐标，记作/l(x,v,z)，其屮x叫做点A的横坐标,尹叫做点A的纵坐标，

2、z叫做点A的竖坐标.2.向量的坐标运算(1)设a=(apa2,a3),b=,贝ij万+b=(a+b［卫2+b?+仇)；&_b=(①—by?_b?卫3_bj；—0Aa=(ziz/］，加”加3)(2g7?)；&•b=axh}+a%+；allbo万=2boa=,a2==Zb,(2e7?)；云丄bu*万•/)=()oa}b}+匕血+a3b3=0・(2)设点A(xl,yi,zl),S(x2,^2,z2),则AB=(x2-xl9y2-ynz2-zt)f即一个向量在直角坐标系屮的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.(3)设点/(“,y,zj,Eg,"®)，点M为线段的屮点，则点M的坐

3、标为附(耳芒21,£l±£l).3.平面的法向量及法向量的求法(1)平面法向量的定义如果向量0与平面q垂直,则向量方叫做平面a的法向量.向量3垂直于平面a,记作方丄a.(2)平面法向量的求法法1：如图，设n=(x,y9z)是平面a的一个法向量,a=(ai9a2,a3),b=(勺,优厶)是平面a内不共线的两个向量,则由佰丄万［方•万=0［a.x+aoy+a.z=0方丄一=>一=>1“3［方丄b［n^b=0b}x+b2y+b3z=Q在方程组①屮可取X=t/（也可取尹=67,或Z=6Z）,即可把尹和Z解出，从而求得平面Q的一个法向量方=（Q,”Z）・二、空间向量在立体几何中运用1、平行与垂直【结

4、论1】设A、B是直线加上的点，C、D是肓线刃上的点，则有：①AB//CD（AB、CD不重合）；②加丄noAB•CD=0.利用这一结论还可以进一步解决育线与平面平行、直线与平曲垂肓、平面与平面平行以及平面与平血垂直等问题。—>―>—>【结论2】设〃是平面Q的一个法向量，肓线o（Z平面a,若a丄/?,则a〃平面a。—►—>—>【结论3】设刃是平面Q的一个法向量，若Q〃/7,则G丄平itiiaO2、有关的角【结论4】设g与b是异面直线，贝\就是异面直线。与b所成的角或它的补角。设a=(apa2,a3),b=(b},b2,b3),0e(0°,90°］为异面直线所成角,则:a•b=1a

5、丨・丨b丨・cos；cos=a・ba-ba、b+cirbr+Ja；+&+a；Jb；+b；+b；cos0=1cos.则为斜线必和平面a所成的角，记为&易得=1cos1【结论5】如图，己知以为平面a的一条斜线,〃为平面a的一个法向量,过P作平面a的垂线PO,连结CMsin0=1sin()I=1cos12=cos=.\PA->->【结论6］设a、卩是二面角处厶0的两个面,m、n分别是a、0的法向量,如果当加与n的起点都在二面角的血内，方向均指向二面角的内部或均指向二血角的外部，则这个二面角的大

6、小就—>—>—>―>是7TY〃?，">；如果加与77的方向一个指向二面角的内部，另一个指向二面角的外部，则这个二面角的大小就是-»T.3、有关的距离【结论7］点P是直线厶外一点，A是直线L上一点，n是直线厶在点P与直线L—>所确定的平面内的一个法向量，则点P到直线厶的距离d=1PAy1InI【结论8】设a、b是异面直线，向量乃满足刃丄a/丄厲点C、D分别是直线心b上->tvCD任意一点，则异面肓线0、b的距离〃二一-—InI【结论9】设点P在平面«外，点A是平血a内任意一点，；是平血«则点P到平面a的距离d=PQ=］PA^—三.例题：例1•如图，在肓三棱柱ABC—右B、C屮

7、，/C=3,BC=4,曲］=4,AB=5点D是曲的屮点，（I）求证：/C丄BG；（II）求证：/C］//平血CQBi；（III）求异面真线M］与所成角的余弦值解法二：v直三棱柱ABC-A^G底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,AC,BC,C】C两两垂直.如图，以C为坐标原点，直线CA,CB,CG分别为工轴，y轴，轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0),4(3,0,0),C

8、(0,0,4),5(0,4,