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1、文档高三数学复习数列l高考风向标数列的概念．等差数列及其通项公式、前n项和公式；等比数列及其通项公式、前n项和公式．数学归纳法及其应用．通项与前n项和之间的关系是高考常考的热点内容，递推数列在各地的高考中闪亮登场．l典型题选讲例１若数列{an}满足若，则的值为（）A．B．C．D．讲解 逐步计算，可得,这说明数列{an}是周期数列，而,所以．应选B．点评 分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色．12/12文档例２ 在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm
2、，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am,am+2,am+1成等差数列.（１）写出这个命题的逆命题；（２）判断逆命题是否为真，并给出证明.讲解 （１）逆命题：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am,am+2,am+1成等差数列，则Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列.（２）设{an}的首项为a1，公比为q由已知得2am+2=am+am+1∴2a1qm+1=a1+a1qm∵a1≠0q≠0,∴2q2－q－1=0,∴q=1或q=－.当q=1时，∵Sm=ma1，Sm+2=(m+2)a1，Sm+1=(m
3、+1)a1，∴Sm+Sm+1≠2Sm+2,∴Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列.当q=－时,2Sm+2=,∴Sm+Sm+1=2Sm+2,∴Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列．综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q≠1时，逆命题为真．12/12文档点评对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题好在分类，活在逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题．例３ 设数列{an}前n的项和为Sn，且其中m为常数，（1）求证：{an}是等比数列；（2）若数列{an}的公比满足q=f
4、(m)且，为等差数列，并求．讲解（1）由，得两式相减，得是等比数列．12/12文档点评 为了求数列的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题．例４ 设数列的前n项和为Sn，若是首项为S1各项均为正数且公比为q的等比数列.（１）求数列的通项公式（用S1和q表示）；（２）试比较的大小，并证明你的结论.讲解 （１）∵是各项均为正数的等比数列，∴．当n=1时，a1=S1；当．∴（２）当n=1时，∴．∵①当q=1时，②当③当综上以上，我们可知：当n=1时，．当12/12文
5、档若若点评 数列与比较大小的综合是高考命题的一个老话题，我们可以找到较好的高考真题．本题求解当中用到与之间的关系式：例５ 已知数列满足>0，且对一切n∈N*，有，(1)求证：对一切n∈N*，有；(2)求数列的通项公式；(3)求证：．讲解(1) 由 ①得 ②②-①得 =(Sn+1+Sn)(Sn+1-Sn)=(2Sn+an+1)an+1∵an+1>0，∴．(2)由，得(n≥2)，两式相减，得(an+1+an)(an+1-an)=an+1+an，∵an+1+an>0，∴an+1-an
6、=1．(n≥2)当n=1，2时易得，a1=1，a2=2，∴an+1-an=1(n≥1)．12/12文档从而{an}是等差数列，其首项为a1=1，公差d=1，故an=n．(3) 点评 关于数列不等式的证明，常用的技巧是放缩法，而放缩应特别注意其适度性，不可过大，也不可过小．例6如图,一粒子在区域上运动,在第一秒内它从原点运动到点,接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．（1）设粒子从原点到达点时，所经过的时间分别为，试写出的通相公式；（2）求粒子从原点运动到
7、点时所需的时间；（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标．讲解 (1)由图形可设，当粒子从原点到达时，明显有……∴＝,.,．,,即.12/12文档（2）有图形知，粒子从原点运动到点时所需的时间是到达点所经过得时间再加（44－16）＝28秒，所以秒．（3）由2004，解得，取最大得n=44,经计算，得＝1980<2004，从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）．点评 从起始项入手，逐步展开解题思维．由特殊到一般，探索出数列
8、的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在．例７ 已知数列的前项和满足.（1）写出数列的前三项；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对任意的整数，有.讲解 （１）为了计算前三项的值，只要在递推式中，对取特殊值，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异．由由由（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的．事实上当时，有即有 从而 ……12/12文档接下来，逐步迭代就有经验证a1也满足上式，故知其实，将关系式和课本习题作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对的两边同除以，便得．令
