专题3.15 探究向量关系式，几何意义先分析-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（原卷版）.doc

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1、专题15探究向量关系式，几何意义先分析【题型综述】　　探究向量关系问题解题策略：（1）“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素向量关系存在，用向量的坐标运算，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思想，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则向量关系存在存在；否则，向量关系不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.【典例指引】类型一探究向量式是否为定值例1【2015高考四川，文20】如图，椭圆E：(a>b>0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且＝－1(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B

2、两点.是否存在常数λ，使得为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.【解析】类型二探究向量式是否成立例2.【2014高考湖南卷文第20题】如图5，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求的方程；(2)是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论.【解析】类型三探究向量式成立的条件例3【2013年高考，天津卷理】设椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设A,B分别为椭圆的左右顶点,是否存在过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点，且,若存在

3、，求k的值，不存在，说明理由..【解析】类型四利用向量探究曲线过定点例4.(2012福建理19)如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为8。（Ⅰ）求椭圆的方程。（Ⅱ）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点。试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。【解析】【扩展链接】1.设圆锥曲线C的焦点F在x轴上，过焦点F且斜率为的直线交曲线于两点，若，则.2.在圆锥曲线中，过焦点F不垂直于坐标轴的弦为，其垂直平分线和焦点所在的坐标轴交于，则.3.已知椭圆的两个焦点分别为和（），过点的直线与椭圆相交

4、于两点，若，则直线一定过或.4.如果平面内有三点不共线，设.【新题展示】1．【2019湖北恩施2月质检】已知抛物线：的焦点为，其准线：与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于两点．（1）求抛物线的方程；（2）点关于轴的对称点为，证明：存在实数，使得．【思路引导】（1）根据抛物线的准线为直线：，可求出，进而可得抛物线方程；（2）先设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，由韦达定理，求出直线恒过定点，进而可证明结论成立．2．【2019黑龙江齐齐哈尔一模】已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为，．过焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为3，直线与椭圆相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）是

5、否存在直线：与椭圆相交于两点，使得？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由！【思路引导】（1）由题意列出关于a，b的关系式，解得a，b即可．（2）将直线与椭圆联立，将向量数量积的运算用坐标形式表示，利用根与系数之间的关系确定k的取值范围．3．【2019安徽江南十校3月检测】设是坐标原点，圆：，椭圆的焦点在轴上，左、右顶点分别为，，离心率为，短轴长为4．平行轴的直线与椭圆和圆在轴右侧的交点分别为，，直线与轴交于点，直线与轴交于点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）当时，求的取值范围．【思路引导】（1）根据椭圆的几何性质，得到关于的方程，求得结果；（2）解法一：假设方程和坐标，利用得到和的

6、坐标，从而将转化为关于的式子，求得范围；解法二：假设方程和坐标，与椭圆方程联立解出点坐标，进一步推导出坐标，将转化为关于的式子，求得范围．4．【2019河北衡水中学摸底】已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且求抛物线的方程；动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在定点其中，使得向量与向量共线其中为坐标原点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【思路引导】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得的坐标，代入抛物线方程，解得，进而得到抛物线的方程；在轴上假设存在定点其中，使得与向量共线，可得轴平分，设，，联立和，根据恒成立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得的

7、方程，求得，可得结论．【同步训练】1．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值范围．【思路点拨】（1）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，

8、MN

9、=

10、x1﹣x2

11、=，由题意得，△MNF