高考数学 玩转压轴题 专题3.15 探究向量关系式几何意义先分析

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1、专题3.15探究向量关系式几何意义先分析【题型综述】探究向量关系问题解题策略:(1)“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素向量关系存在,用向量的坐标运算,转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式,利用设而不求思想,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则向量关系存在存在;否则,向量关系不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.【典例指引】类型一探究向量式是否为定值例1【2015高考四川,文20】如图,椭圆E:(a>b>0)的离心率是,点P(0,1)在短轴CD上,且=-1(Ⅰ)求椭圆E的方程

2、;(Ⅱ)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ,使得为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.ADBCOxyP类型二探究向量式是否成立例2.【2014高考湖南卷文第20题】如图5,为坐标原点,双曲线和椭圆均过点,且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求的方程;(2)是否存在直线,使得与交于两点,与只有一个公共点,且?证明你的结论.是,联立直线与椭圆可得,因为直线与椭圆只有一个交点,所以,化简可得,因此,于是,即,所以,综上不存在符合题目条件的直线.类型三探究向量式成立的

3、条件例3【2013年高考,天津卷理】设椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设A,B分别为椭圆的左右顶点,是否存在过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点,且,若存在,求k的值,不存在,说明理由..=,由已知得=8,解得.类型四利用向量探究曲线过定点例4.(2012福建理19)如图,椭圆的左焦点为,右焦点为,离心率。过的直线交椭圆于两点,且的周长为8。(Ⅰ)求椭圆的方程。(Ⅱ)设动直线与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相交于点。试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以

4、为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由。(法3)由得,∵动直线与椭圆有且只要一个交点,∴且△=0,即,化简得①此时==,==,∴(,),由得(4,).假设平面内存在定点满足条件,由图形对称性知,点必在轴上,【扩展链接】1.设圆锥曲线C的焦点F在x轴上,过焦点F且斜率为的直线交曲线于两点,若,则.2.在圆锥曲线中,过焦点F不垂直于坐标轴的弦为,其垂直平分线和焦点所在的坐标轴交于,则.3.已知椭圆的两个焦点分别为和(),过点的直线与椭圆相交于两点,若,则直线一定过或.4.如果平面内有三点不共线,设.【同步训练】1.

5、已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上下两个焦点分别为F1,F2,过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M,N两点,△MNF2的面积为,椭圆C的离心率为(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知O为坐标原点,直线l:y=kx+m与y轴交于点P,与椭圆C交于A,B两个不同的点,若存在实数λ,使得+λ=4,求m的取值范围.【思路点拨】(1)根据已知设椭圆的焦距2c,当y=c时,

6、MN

7、=

8、x1﹣x2

9、=,由题意得,△MNF2的面积为

10、MN

11、×

12、F1F2

13、=c

14、MN

15、=,又∵,解得a、b即可.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,y0

16、),分类讨论:当m=0时,利用椭圆的对称性即可得出;m≠0时,直线AB的方程与椭圆的方程联立得到△>0及根与系数的关系,再利用向量相等,代入计算即可得出.(2)当m=0时,则P(0,0),由椭圆的对称性得,∴m=0时,存在实数λ,使得+λ=4,当m≠0时,由+λ=4,得,∵A、B、p三点共线,∴1+λ=4,⇒λ=3⇒设A(x1,y1),B(x2,y2)由,得(k2+4)x2+2mkx+m2﹣4=0,由已知得△=4m2k2﹣4(k2+4)(m2﹣4)>0,即k2﹣m2+4>0且x1+x2=,x1x2=.由得x1=﹣3x23(x1+x

17、2)2+4x1x2=0,∴,⇒m2k2+m2﹣k2﹣4=0显然m2=1不成立,∴∵k2﹣m2+4>0,∴,即.解得﹣2<m<﹣1或1<m<2.综上所述,m的取值范围为(﹣2,﹣1)∪(1,2)∪{0}2.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P(1,)是椭圆上一点,且

18、PF1

19、,

20、F1F2

21、,

22、PF2

23、成等差数列.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知动直线l过点F2,且与椭圆C交于A、B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得•=﹣恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【思路点拨】(1)根据椭圆的

24、性质及等差数列性质得出a=c,把P点坐标代入椭圆方程列方程组解出a,b得出椭圆方程;(2)设Q(m,0),讨论直线l的斜率,求出A,B坐标,列方程解出m.3.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为F1(﹣,0),M(1,

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