高考数学玩转压轴题专题3.1待定系数求方程，几何转至代数中

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1、专题3.1待定系数求方程，几何转至代数中求圆锥曲线方程的策略一般有以下几种：①几何分析法＋方程思想；②设而不求＋韦达定理；③第二定义＋数形结合；④参数法＋方程思想。几何分析法，利用图形结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图中已知量与未知量之间的关系，列出关于方程中参数的方程，解出参数值即可得到圆锥曲线方程，要求平面几何中相似等数学知识必须十分熟练。设而不求、韦达定理是解圆锥曲线问题的通性通法，缺点是计算量较大，费时费力，容易出错，通常根据题设条件，设出点的坐标和直线方程，将直线方程代入曲线方程，化为关于的一元二次方程，利用韦达定理用参数表示出来，根据

2、题中条件列出关于参数的方程，通过解方程解出参数值，即可得出圆锥曲线的方程。不管是哪种方法，最终都要列出关于圆锥曲线方程中的参数的方程问题，通过解方程解出参数值，即可得到圆锥曲线方程，故将利用平面几何知识和圆锥曲线的定义与性质是将几何问题转化为代数问题，简化解析几何计算的重要途径.【典例指引】类型一待定系数法求椭圆方程例1【2014年全国课标Ⅱ，理20】设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.类型2参数法求椭圆方程例2.【2

3、015高考安徽，理20】设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为.（I）求E的离心率e；（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.类型3设而不求思想与韦达定理求抛物线方程例3【2013年高考数学湖南卷】过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D.以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为.（I）若，证明；；（II）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程.（2）由抛物线

4、的定义得所以从而圆M的半径，圆M的方程为化简得，同理可得圆N的方程为，于是圆M与圆N的公共弦所在直线l的方程为，又，则直线l的方程为，因为，所以点M到直线l的距离，故当时，取最小值.由题设，，所以，故所求抛物线E的方程为类型4待定系数法求抛物线方程例4（2012全国课标理20）.设抛物线：（＞0）的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于,两点.(Ⅰ)若,的面积为，求的值及圆的方程；(Ⅱ)若，，三点在同一条直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到，距离的比值.【解析】设准线于轴的焦点为E，圆F的半径为，则

5、FE

6、=，=，E

7、是BD的中点，【解析2】由对称性设，则点关于点对称得：得：，直线切点直线坐标原点到距离的比值为。【扩展链接】1.焦点三角形面积公式：圆锥曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P为曲线上任意一点，（1）若P在椭圆上，则椭圆的焦点角形的面积为.（2）若P在双曲线上，则双曲线的焦点角形的面积为.2.椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：,(,).【同步训练】1．设椭圆：（）的左右焦点分别为，，下顶点为，直线的方程为.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点，到直线的距离为，且三角形的面积为，求椭圆的方程；【思路引导】（Ⅰ）由直线斜率为可得，从而可得结

8、果；（Ⅱ）先求得点坐标，根据三角形面积可得的值，从而可得椭圆方程.【详细解析】由得.又因为三角形面积，所以，于是，椭圆的方程为.2．已知抛物线（）和定点，设过点的动直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交点为.（Ⅰ）若在以为直径的圆上，求的值；（Ⅱ）若三角形的面积最小值为4，求抛物线的方程.【思路引导】（Ⅰ）设出直线方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理，导数的几何意义，结合处的切线斜率乘积为可得结果；（Ⅱ）根据弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可以得到，从而可得结果.【详细解析】3．已知抛物线：（）的焦点为，直线交抛物线于、两点，是线段的中

9、点，过作轴的垂线交抛物线于点.（1）是抛物线上的动点，点，若直线过焦点，求的最小值；（Ⅱ）是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【思路引导】(Ⅰ)由直线过焦点,求出焦点的坐标，过设过作于，由抛物线定义知，结合图形即可求出取最小值；（Ⅱ）由知，设出的坐标，由消去化为关于的一元二次方程，用韦达定理和向量数量积列出关于的方程，即可解出.【详细解析】（Ⅱ）假设存在，抛物线与直线联立方程组得：，设，，则，，.，.则得：，，，代入得，解得或（舍去）.4．设直线l：y=k（x+1）与椭圆x2+3y2=a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x

10、轴相交于点C，O为坐标原点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程．【思路引导】（I）将直线l的方程为