高考数学 玩转压轴题 专题3.12 综合求证多变换几何结合代数算

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1、专题3.12综合求证多变换几何结合代数算【题型综述】综合求证问题有以下类型：（1）证明直线过定点，设出直线方程，利用题中的条件与设而不求思想找出曲线方程中参数间的关系，即可求出定点.(2)定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标，通过运算得知求证目标的取值与变化的量无关．当使用直线的斜率和截距表示直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决．（3）恒等式的证明问

2、题，将恒等式转化为常见的弦长、距离之比或向量关系等问题，进而转化为直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.(4)几何图形性质的证明，利用几何图形性质与向量运算的关系，转化为向量的运算或直线的斜率关系，再用直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.【典例指引】类型一证明分点问题例1【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.（Ⅰ）求抛

3、物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点..直线ON的方程为，点B的坐标为.因为，所以.故A为线段BM的中点.类型二几何证明问题例2.【2015高考湖南，理20】已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.（1）求的方程；（2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向（ⅰ）若，求直线的斜率（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形（ii）由得，∴在点处的切线方程为，即，令，得，即，∴，而，于是，因此是锐角，从而是钝角.，故直线绕点旋转时，总是钝

4、角三角形.类型三等式证明例3【2015高考上海，理21】已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为.（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；（2）设与的斜率之积为，求面积的值.类型四长度关系证明例4.【2016高考四川】已知椭圆E：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上.(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：．【扩展链接】1.圆锥曲线以P(x0，y0)(y

5、0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是：k＝－(椭圆＋＝1)，k＝(双曲线－＝1)，k＝(抛物线y2＝2px)，其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦端点的坐标．2.给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角,给出,等于已知是锐角；3.在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;4.在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;【同步训练】1．如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N的下方），且

6、MN

7、=3．（1）求圆C的方程；（2）过点M任作一条直线与椭圆相交于两点A、B

8、，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．【思路点拨】（1）设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r），根据

9、MN

10、=3，利用弦长公式求得r的值，可得圆C的方程．（2）把x=0代入圆C的方程，求得M、N的坐标，当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM，当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得KAB+KBN=0，可得∠ANM=∠BNM．综上所述，∠ANM=∠BNM．2.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（，）两点．（1）求椭圆C的方程

11、；（2）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足

12、MA

13、=

14、MB

15、．求证：++为定值．【思路点拨】（1）把（1，1）与（，）两点代入椭圆方程解出即可．（2）由

16、MA

17、=

18、MB

19、，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可．②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OM的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），与

20、椭圆的方程联立解出坐标，即可得到=，同理，代入要求的式子即可．∴=，同理，所以=2×+=2，故=2为定值．3.在平面直角坐标系xOy中，动点p（x，y）（x≥0）满足：点p到定点F（，0）与到y轴的距离之差为．记动点p的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直