专题3.12 综合求证多变换，几何结合代数算-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（原卷版）.doc

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1、专题12综合求证多变换，几何结合代数算【题型综述】综合求证问题有以下类型：（1）证明直线过定点，设出直线方程，利用题中的条件与设而不求思想找出曲线方程中参数间的关系，即可求出定点.(2)定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标，通过运算得知求证目标的取值与变化的量无关．当使用直线的斜率和截距表示直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决．（3）恒等式的证明

2、问题，将恒等式转化为常见的弦长、距离之比或向量关系等问题，进而转化为直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.(4)几何图形性质的证明，利用几何图形性质与向量运算的关系，转化为向量的运算或直线的斜率关系，再用直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.【典例指引】类型一证明分点问题例1【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.（Ⅰ

3、）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；[来源:学*科*网Z*X*X*K]（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点..【解析】类型二几何证明问题例2.【2015高考湖南，理20】已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.（1）求的方程；（2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向（ⅰ）若，求直线的斜率（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形【解析】类型三等式证明例3【2015高考上海，理21】已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为

4、.（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；（2）设与的斜率之积为，求面积的值.【解析】类型四长度关系证明例4.【2016高考四川】已知椭圆E：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上.(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：．[来源:学+科+网Z+X+X+K]【扩展链接】1.圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是：k＝－(椭圆＋＝1)，k＝(双曲线－＝1)，k

5、＝(抛物线y2＝2px)，其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦端点的坐标．2.给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角,给出,等于已知是锐角；3.在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;4.在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;【新题展示】1．【2019宁夏吴忠中学一模】在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为．过的直线交于，两点，且的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）圆与轴正半轴相交于两点，（点在点的左侧），过点任作一条直线与椭圆相交于，两点，连接，，求证．【思路引导】

6、（1）设椭圆C的方程为(a＞b＞0)，由离心率为，得，又△PQF2的周长为4a=，得a＝2，进而求出椭圆方程；（2）把y＝0代入圆的方程求出x的值，确定M与N的坐标，当AB⊥x轴时，由椭圆的对称性得证；当AB与x轴不垂直时，设直线AB为y=k（x﹣1），与椭圆方程联立得到关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理表示出x1+x2，x1x2，进而表示出直线AN与直线BN斜率之和为0，即可得证．2．【2019福建厦门3月质检】已知椭圆：，过点且与轴不重合的直线与相交于两点，点，直线与直线交于

7、点．（1）当垂直于轴时，求直线的方程；（2）证明：．[来源:Zxxk.Com]【思路引导】（1）当垂直于轴时，其方程为，求出点的坐标后可得直线的斜率，于是可得直线方程。（2）由于在轴上，所以只需证明点的纵坐标相等即可得到结论成立，解题时注意直线方程的设法．3．【2019山东济宁一模】已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点．(I)求椭圆C的方程；(II)设椭圆C的右焦点为F，直线与椭圆C相切于点A，与直线相交于点B，求证：的大小为定值．【思路引导】（Ⅰ）由题意可知，解得a2＝3，b2＝2，即可求出椭圆C的方程，（Ⅱ）显然直线

8、l的斜率存在，设l：y＝kx+m，联立，根据直线l与椭圆相切，利用判别式可得m2＝3k2+2，求出点A，B的坐标，根据向量的运算可得可得•0，即∠AFB＝90°，故∠AFB的大小为定值．4．【2019山西吕梁一模】已知抛物线：，过轴上一点（不同于原点）的直线与交于两点，，与轴交于点．（1）若，，求的值；（2）若，过，分别作的切线，两切线交于点，