专题3.12 综合求证多变换，几何结合代数算-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）.doc

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1、【题型综述】综合求证问题有以下类型：（1）证明直线过定点，设出直线方程，利用题中的条件与设而不求思想找出曲线方程中参数间的关系，即可求出定点.(2)定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标，通过运算得知求证目标的取值与变化的量无关．当使用直线的斜率和截距表示直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决．（3）恒等式的证明问题，将恒等式转化为常见的弦长、距离之比或向量关系等问题，进而转化为直线与圆锥曲线的交点坐标问题，

2、利用设而不求思想及韦达定理即可证明.(4)几何图形性质的证明，利用几何图形性质与向量运算的关系，转化为向量的运算或直线的斜率关系，再用直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.【典例指引】类型一证明分点问题例1【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点..直线ON的方程为，点B的坐标为.因为，所以.学科*网故A为线段BM的中点.类型

3、二几何证明问题例2.【2015高考湖南，理20】已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.（1）求的方程；（2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向（ⅰ）若，求直线的斜率（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形（ii）由得，∴在点处的切线方程为，即，令，得，即，∴，而，于是，因此是锐角，从而是钝角.，故直线绕点旋转时，总是钝角三角形.学科*网类型三等式证明例3【2015高考上海，理21】已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为.（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；（2）设

4、与的斜率之积为，求面积的值.类型四长度关系证明例4.【2016高考四川】已知椭圆E：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上.(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：．【扩展链接】1.圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是：k＝－(椭圆＋＝1)，k＝(双曲线－＝1)，k＝(抛物线y2＝2px)，其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦端点的坐标．2.给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角,给出,等于已知

5、是锐角；3.在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;4.在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;【新题展示】1．【2019宁夏吴忠中学一模】在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为．过的直线交于，两点，且的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）圆与轴正半轴相交于两点，（点在点的左侧），过点任作一条直线与椭圆相交于，两点，连接，，求证．【思路引导】（1）设椭圆C的方程为(a＞b＞0)，由离心率为，得，又△PQF2的周长为4a=，得a＝2，进而求出椭圆方程；（2）把y＝0代入圆的方程求出x的值，确定M与N的坐标，当AB⊥x轴时，由椭圆的对称性得证；当AB与x轴不垂直时

6、，设直线AB为y=k（x﹣1），与椭圆方程联立得到关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理表示出x1+x2，x1x2，进而表示出直线AN与直线BN斜率之和为0，即可得证．【解析】(1)设椭圆C的方程为(a＞b＞0)．因为离心率为，所以，解得，即．又△PQF2的周长为

7、PQ

8、＋

9、PF2

10、＋

11、QF2

12、＝(

13、PF1

14、＋

15、PF2

16、)＋(

17、QF1

18、＋

19、QF2

20、)＝2a＋2a＝4a，所以又△PQF2的周长为，即a＝2，b＝2，所以椭圆C的方程为．(2)把y＝0代入＋(y－2)2＝，解得x＝1或x＝4，因为点在点的左侧，即点M(1，0)，N(4，0)．①当A

21、B⊥x轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM＝∠BNM．②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝k(x－1)．联立(k2＋2)x2－2k2x＋k2－8＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝．因为y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，所以kAN＋kBN＝＋＝＋＝．因为(x1－1)(x2－4)＋(x2－1)(x1－4)＝2x1x2－5(x1＋x2)＋8＝＋8＝，所以kAN＋kBN＝0，所以∠ANM＝∠BNM，综上所述，∠ANM＝∠BNM．2．【2019福建厦门3月质检