专题3.11 切线处理情况多，曲线不同法定度-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）.doc

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1、【题型综述】圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数，利用导数法求出函数在点处的切线方程，特别是焦点在轴上常用此法求切线；思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式，即可解出切线方程，注意关于（或y）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.【典例指引】类型一导数法求抛物线切线例1【2017课表1，文20】设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（

2、2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．类型二椭圆的切线问题例2（2014广东20）（14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.类型三直线与椭圆的一个交点例3.【2013年高考安徽卷】已知椭圆的焦距为4，且过点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为.取点,连接，过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.【解析】（1

3、）因为椭圆过点且学*科网椭圆C的方程是（2）由题意，各点的坐标如上图所示，则的直线方程：化简得又，学*科网所以带入求得最后所以直线与椭圆只有一个公共点.类型四待定系数求抛物线的切线问题例4【2013年高考广东卷】已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．(1)求抛物线的方程；(2)当点为直线上的定点时，求直线的方程；(3)当点在直线上移动时，求的最小值．（3）由抛物线的定义可知，所以联立，消去得，当时，取得最小值为学*科网【扩展链接】1.椭圆的切线方程：椭圆上一点处的切线方程是；椭圆外一点所引两条切线

4、方程是.2.双曲线的切线方程：双曲线上一点处的切线方程是；双曲线上一点所引两条切线方程是.3.抛物线的切线方程：抛物线上一点处的切线方程是；抛物线上一点所引两条切线方程是.4.设抛物线的焦点为，若过点的直线分别与抛物线相切于两点，则.5.设椭圆:的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于两点，则.6.设双曲线:的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于两点，则.【新题展示】1．【2019福建龙岩质检】已知椭圆的两焦点为、，抛物线：（）的焦点为，为等腰直角三角形．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）已知过点的直线与抛物线交于两点，又过作抛物线的切线，使得，问这样的直线是否存在？若存

5、在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【思路引导】（Ⅰ）先写出、的坐标，利用为等腰直角三角形，求得p即可．（Ⅱ）依题意，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k（x+2），，可得切线l1，l2的斜率分别为，．x1x2＝﹣4．再将直线与抛物线联立，结合韦达定理解得k即可．【解析】（Ⅰ）椭圆，，两焦点为，，∵为等腰直角三角形，，，[来源:Z+xx+k.Com]（Ⅱ）过点的直线与抛物线交于两点，的斜率必存在，设直线的方程为，由得，或抛物线方程得为所以切线的斜率分别为，当时，，即又，解得合题意，所以存在直线的方程是，即2．【2019河南九师联盟2月质检】已知点

6、是抛物线：的焦点，点是抛物线上的定点，且．（1）求抛物线的方程；（2）直线与抛物线交于不同两点，，且（为常数），直线与平行，且与抛物线相切，切点为，试问的面积是否是定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【思路引导】（1）先设出点M的坐标，表示出，求得M坐标，带入抛物线方程，求得p的值，得出结果．（2）先设直线AB的方程，联立求解得AB中点Q的坐标为，再设切线方程，联立得切点的坐标为，再利用面积公式和已知条件，进行计算化简可得结果．【解析】（1）设，由题知，所以．所以，即．代入中得，解得．所以抛物线的方程为．（2）由题意知，直线的斜率存在，设其方程为

7、．由，消去，整理得，则，．∴，设的中点为，则点的坐标为．由条件设切线方程为，由，消去整理得．∵直线与抛物线相切，∴．∴．∴，∴，∴．∴切点的坐标为．∴轴，∴．∵，又∵．∴．∴．∵为常数，∴的面积为定值，且定值为．3．【2019东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中联考】已知椭圆的离心率为，右焦点为，且椭圆过点．（I）求椭圆的方程；（II）若点分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上不同于的动点，直线与直线x=a交于点，证明：以线段为直径的圆与直线相切．【思路引导】（I）设椭圆的焦距为，依题意，列出方程组，求得的值，即可求解椭圆的标准方程；（II）方法一①设点

8、的坐标为，当时，得到直线的方程，求得点的坐标，进而求得线段的中点为