专题2.14 等或不等解存在，转化值域可实现-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）.doc

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1、【题型综述】导数研究方程的根或不等式的解集 利用导数探讨方程解的存在性，通常可将方程转化为，通过确认函数或的值域，从而确定参数或变量的范围；类似的，对于不等式，也可仿效此法．[来源:Zxxk.Com]【典例指引】例1．已知函数．（1）若关于的方程在上有解，求实数的最大值；（2）是否存在，使得成立？若存在，求出，若不存在，说明理由；【思路引导】（1）方程在上有解，等价于有解，只需求的最大值即可；（2）假设存在，可推导出矛盾，即可证明不存在．[来源:学。科。网Z。X。X。K]例2．已知函数的最大值为，的图象关于轴对称．(Ⅰ)求实数的值；[来源:Z

2、*xx*k.Com](Ⅱ)设，是否存在区间，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【思路引导】(Ⅰ)由题意得，可得在上单调递增，在上单调递减，可得的最大值为，可得。由的图象关于轴对称，可得。(Ⅱ)由题知，则，从而可得在上递增。假设存在区间，使得函数在上的值域是，则，将问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根的问题，即在区间上是否存在两个不相等实根，令，，可得在区间上单调递增，不存在两个不等实根。问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根，即方程在区间上是否存在两个不相等实根，令，，则,设,

3、则，，故在上递增，学&科网故，所以，故在区间上单调递增，故方程在区间上不存在两个不相等实根，综上，不存在区间使得函数在区间上的值域是．点睛：（1）解决导数综合题时，函数的单调性、极值是解题的基础，在得到单调性的基础上经过分析可使得问题得以解决。（2）对于探索性问题，在求解的过程中可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，看能否得到矛盾，若得到矛盾，则说明假设不成立；若无矛盾出现，则说明假设成立，从而说明所证明题成立。例3．已知函数为常数（1）当在处取得极值时，若关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（2）若对任意的，总存

4、在，使不等式成立，求实数的取值范围．【思路引导】（1）对函数，令，可得的值，利用导数研究的单调性，然后求得的最值，即可得到的取值范围；（2）利用导数求出在上的最大值，则问题等价于对对任意，不等式成立，然后构造新函数，再对求导，然后讨论，得出的单调性，即可求出的取值范围．当时，，所以在区间上单调递减，此时所以不可能使恒成立，故必有，因为若，可知在区间上单调递增，在此区间上有满足要求若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立相矛盾，所以实数的取值范围是．学&科网点睛：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大

5、，属于难题．在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会．【新题展示】1．【2019山东枣庄上学期期末】已知（I）求函数的极值；（II）若方程仅有一个实数解，求的取值范围．【思路引导】（I）先根据题意，求出，再求出，然后对a进行讨论，求得的单调性，然后取得极值.（II）仅有一个实数解,即有唯一零点，然后求得，再对a进行讨论，讨论单调性，求得的最小值，再利用零点存在性定理，最后求得a的取

6、值.【解析】（I）,当，，在上是增函数，所以，函数没有极值.（II）仅有一个实数解,即有唯一零点.当，，此时在R上递增，因为，所以在递减；在递增，，当x=0取等号，所以满足题意；当时，所以在递减，上递增；令此时当上，递增；当上，递减；[来源:Zxxk.Com]当且紧当取等号，所以（1）当，，且因为（利用：当时，），所以由零点存在性定理，可得存在唯一使得，注意（）于是，当递增；当递减；当递增；于是[来源:Z,xx,k.Com]且当由零点存在性定理：必然存在一个使得此时，存在两个零点，可见不满足题意；（3）当时，则此时在R上递增，且，所以此时有唯

7、一一个零点所以满足题意综上，a的取值范围为2．【2019广西柳州毕业班1月模拟】已知函数，（1）当时，求函数的单调区间；（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.如果函数存在不动点，求实数的取值范围.【思路引导】（1）将代入，结合导函数，判定单调区间，即可。（2）用x表示a，构造函数，求导，判定原函数的单调性，计算最值，计算a的范围，即可。【解析】（2）存在不动点，方程有实数根.即有解.令令，.当时，，递减；当时，，递增；[来源:学.科.网]当时，有不动点，范围3．【2019山东济南上学期期末】已知函数.（1）若曲线在点处切线

8、的斜率为1，求实数的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】(1)求出，令x=1,即可解出实数的值；（2）时，恒成立转化为求函数最小值大于零即可.【解