专题2.6 欲证不等恒成立，差值函数求值域-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）.doc

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1、【题型综述】利用导数解决不等式恒成立问题的策略：构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．具体做法如下：首先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应含参不等式，从而求出参数的取值范围，也可以分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．证明，时，可以构造函数，如果，则在上是减函数，同时若，由减函数的定义可知，当时，有，即证明．【典例指引】例1．已知函数，为其导函数.(1)设，求函数的单调区间；(2)若，设，为函数图象上不同的两点，且满足，设线段中点的横坐标

2、为证明：.【思路引导】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，得增区间，得减区间即可；（2）问题转化为证明令，根据函数单调性证明即可.(2)法一：，故在定义域上单调递增.只需证：，即证(*)注意到不妨设.令，则，从而在上单减，故，即得(*)式.学&科网法二：(2)故在定义域上单调递增.注意到且故，且等号仅在处取到.所以与图象关系如下：取，则显然有,从而，另外由三次函数的中心对称性可知，则有.学&科网点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及不等式证明问题.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是

3、中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.例2．已知定义域为的函数存在两个零点．（1）求实数的取值范围；[来源:学+科+网Z+X+X+K]（2）若，求证：．【思路引导】（1）分离参数得，借助函数的图象进行求解；（2）由于，则在区间上单调递增，，故只需证明即可．由题知且，不妨设，则，构造，只需证明即可，利用导数的知识可求解

4、．又，学&科网∴，又，∴，即，∴，∵在区间上单调递增，∴，得证．学&科网点评：解答时注意以下两点：（1）涉及已知函数零点的个数求参数的问题，可通过分析所给函数的特点采用分离参数的方法利用数形结合求解．（2）比较大小时，可通过构造函数，利用函数的单调性和函数值的大小关系处理，在解题中多次构造函数处理问题．例3．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，证明：且．【思路引导】（1）求导，令和，求得函数单调区间（2）构造函数令，求导后分类讨论，利用单调性证明．点评：关于含参量恒成立问题有两种方法，分离含参量和带参量

5、计算，本题构造新函数，带有参量一起求导，判定新函数的单调性，求得最大值时恒小于或等于零，即可证得结论．【新题展示】1．【2019福建三明期末】已知函数.（1）求证：；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】(1)令，求出函数的最大值即可；(2)不等式恒成立，即恒成立，令，研究函数的单调性与极值即可.【解析】（2）因为不等式恒成立，即恒成立，令，则，[来源:学科网]令，则.则在上单调递减，在上单调递增，故只需，即，令，单调性与（1）中一致，即在上单调递增，在上单调递减，又，所以，即.2．【2019陕西渭南质检】已

6、知函数为常数的图象与y轴交于点A，曲线在点A处的切线斜率为．（1）求a的值及函数的单调区间；（2）设，证明：当时，恒成立．【思路引导】（1）利用导数的几何意义是曲线在切点处切线的斜率可得a＝3，然后根据导函数的符号可得单调区间；（2）将所证不等式转化为ex﹣x2﹣1＞0，然后构造函数h（x）＝ex﹣x2﹣1（x＞0），通过两次求导可证不等式．【解析】(2)证明：当时，，令，则，，当时，，递减；当时，，递增，在上单调递增，，，当时，．3．【2019北京丰台区上学期期末】已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：当时，．【

7、思路引导】（1）先求得点的坐标，和切线的斜率，利用点斜式求出切线方程;（2）先证明，利用单调性求出f(x)的最小值；再证明，构造新函数构造函数，判断出单调性求最值得证.【解析】证明：2先证明，，是增函数，，构造函数，，，递减，即，递减，，，当时，．4．【2019广东东莞上学期期末调研】已知函数，（且为常数）.（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意都有成立，求实数的取值范围.【思路引导】（1）当时，先求得函数的定义域，然后对函数求导，由此求得函数的单调区间，并求得最小值.（2）构造函数，将原不等式恒成立问题，转化为来求解.利用

8、的导数，研究函数的单调性，求得的最小值，令这个最小大于或等于零，求得的取值范围.【解析】（2）令那么，对于任意都有，只须即可，，且记由已知，所以对于任意，都有恒成立，又因为，所以在上单调递增，所以，，由，解得，所以，当时，对任意都有成立.5．【2019北京房山区