专题1.1 初识极值点偏移-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)(解析版).doc

专题1.1 初识极值点偏移-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)(解析版).doc

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1、一、极值点偏移的含义众所周知,函数满足定义域内任意自变量都有,则函数关于直线对称;可以理解为函数在对称轴两侧,函数值变化快慢相同,且若为单峰函数,则必为的极值点.如二次函数的顶点就是极值点,若的两根的中点为,则刚好有,即极值点在两根的正中间,也就是极值点没有偏移.若相等变为不等,则为极值点偏移:若单峰函数的极值点为,且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或,则函数极值点左右侧变化快慢不同.故单峰函数定义域内任意不同的实数满足,则与极值点必有确定的大小关系:学科*网若,则称为极值点左偏;若,则称为极值点右偏.[来源:学_科_网Z_X_X_K]如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边,我们称之

2、为极值点左偏.二、极值点偏移问题的一般题设形式:1.若函数存在两个零点且,求证:(为函数的极值点);2.若函数中存在且满足,求证:(为函数的极值点);3.若函数存在两个零点且,令,求证:;4.若函数中存在且满足,令,求证:.三、新题展示【2019江苏无锡高三上学期期末】已知函数f(x)=-ax(a>0).(1)当a=1时,求证:对于任意x>0,都有f(x)>0成立;(2)若函数y=f(x)恰好在x=x1和x=x2两处取得极值,求证:

3、1<x2,[来源:学_科_网]∵f′(x)=ex﹣ax﹣a,f″(x)=ex﹣a,当a≤0时,f″(x)>0恒成立,∴f′(x)单调递增,f′(x)=0至多有一个实数解,不符合题意,当a>0时,f″(x)<0的解集为(﹣∞,lna),f″(x)>0的解集为(lna,+∞),∴f′(x)在(﹣∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,学科.网∴f′(x)min=f′(lna)=﹣alna,由题意,应有f′(lna)=﹣alna<0,解得a>1,此时f′(﹣1)0,∴存在x1∈(﹣1,lna)使得f′(x1)=0,易知当时,f(x).∴存在x2∈(lna,)使得f′(x2)=0,∴

4、a>1满足题意,设g(t)=(2t﹣et)et+1,∴g′(t)=2(t+1﹣et)et,由(1)可知,g′(t)=2(t+1﹣et)et<0恒成立,∴g(t)单调递减,∴g(t)<g(0)=0,即f″()<0,∴∴lna.四、问题初现,形神合聚[来源:学科网ZXXK]★函数有两极值点,且.证明:.所以,所以,因为,,在上单调递减所以,即.学科&网[来源:学*科*网]★已知函数的图象与函数的图象交于,过的中点作轴的垂线分别交,于点,问是否存在点,使在处的切线与在处的切线平行?若存在,求出的横坐标;若不存在,请说明理由.五、招式演练[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]★过点作曲线的切线

5、.(1)求切线的方程;(2)若直线与曲线交于不同的两点,,求证:.【答案】(1)(2)见解析【解析】试题分析:(1)先根据导数几何意义求切线斜率,再根据点斜式求切线方程.因为,不妨设,.学科@网设,则,当时,,在单调递增,[来源:学*科*网Z*X*X*K]所以,所以当时,.因为,所以,从而,因为,在单调递减,所以,即.学科&网极值点偏移问题在近几年高考及各种模考,作为热点以压轴题的形式给出,很多学生对待此类问题经常是束手无策,而且此类问题变化多样,有些题型是不含参数的,而更多的题型又是含有参数的.其实,此类问题处理的手段有很多,方法也就有很多,下面我们来逐一探索![来源:Z。xx。k.Co

6、m]

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