专题3.7 三点共线证法多，斜率向量均可做-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）.doc

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1、【题型综述】三点共线问题证题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重

2、要思想：“设而不求思想”.【典例指引】类型一向量法证三点共线例1（2012北京理19）（本小题共14分）已知曲线:（）(Ⅰ)若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；(Ⅱ)设=4，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点,,直线与直线交于点，求证：，，三点共线.方程为：，则，，，欲证三点共线，只需证，共线即成立，化简得：将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。学&科网类型二斜率法证三点共线例2.（2017•上海模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，设AB的中点为M，A、B、M在准

3、线上的射影依次为C、D、N．（1）求直线FN与直线AB的夹角θ的大小；（2）求证：点B、O、C三点共线．∵kOB==，y1y2=﹣4，∴kOB=kOC，∴点B、O、C三点共线．学&科网类型三直线方程法证三点共线例3（2017•贵阳二模）已知椭圆C：=1（a＞0）的焦点在x轴上，且椭圆C的焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点R（4，0）的直线l与椭圆C交于两点P，Q，过P作PN⊥x轴且与椭圆C交于另一点N，F为椭圆C的右焦点，求证：三点N，F，Q在同一条直线上．==，即直线QN过点（1，0），又∵椭圆C的右焦点坐标为F（1，0）

4、，∴三点N，F，Q在同一条直线上．学&科网类型四多种方法证三点共线例4.（2017•保定一模）设椭圆x2+2y2=8与y轴相交于A，B两点（A在B的上方），直线y=kx+4与该椭圆相交于不同的两点M，N，直线y=1与BM交于G．（1）求椭圆的离心率；（2）求证：A，G，N三点共线．【扩展链接】1.给出,等于已知与的中点三点共线;2.给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线；【新题展示】1．【2019北京首都师范大学附属中学预测】在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若直线

5、与轴、轴分别相交于两点，试求面积的最小值；（Ⅲ）设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线．【思路引导】（Ⅰ）求得椭圆C的a，b，c，运用离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）在直线l中，分别令x＝0，y＝0，求得A，B的坐标，求得三角形OAB的面积，由P代入椭圆方程，运用基本不等式即可得到所求最小值；（Ⅲ）讨论①当x0＝0时，P（0，±1），②当x0≠0时，设点Q（m，n），运用对称，分别求得Q的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，即可得证．【解析】（Ⅰ）依题意可知，，所以椭圆离心率为．（Ⅱ）因为直线与轴，轴分别相

6、交于两点，所以．[来源:Zxxk.Com]令，由得，则．令，由得，则．所以的面积．因为点在椭圆上，所以．所以．即，则．所以．当且仅当，即时，面积的最小值为．（Ⅲ）①当时，．当直线时，易得，此时，．因为，所以三点共线．同理，当直线时，三点共线．②当时，设点，因为点与点关于直线对称，所以整理得解得所以点．又因为，，且．所以．所以点三点共线．综上所述，点三点共线．2．【2019广东深圳2月调研】在平面直角坐标系中，椭圆的中心在坐标原点，其右焦点为，且点在椭圆上．[来源:Zxxk.Com]（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为、、是

7、椭圆上异于，的任意一点，直线交椭圆于另一点，直线交直线于点，求证：，，三点在同一条直线上．【思路引导】（1）（法一）由题意，求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，求得，进而求得的值，即可得到椭圆的标准方程；（法二）设椭圆的方程为（），列出方程组，求得的值，得到椭圆的标准方程。（2）设，，直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系和向量的运算，即可证得三点共线。【解析】（1）（法一）设椭圆的方程为，∵一个焦点坐标为，∴另一个焦点坐标为，∴由椭圆定义可知，∴，∴，∴椭圆的方程为．（法二）不妨设椭圆的方程为（），[来源:Z+xx+k.Com]

8、∵一个焦点坐标为，∴，①又∵点在椭圆上，∴，②联立方程①，②，解得，，∴椭圆的方程为．（2）设，，直线的方程为，由方程组消去，并整理得：，∵，∴，，∵直线的方程可表示为，将此方程与直线联立，可求得点的坐标为