2021届高考数学多题一解专题02 多题一解之两平面向量垂直篇（解析版）.docx

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1、专题02多题一解之两平面向量垂直篇【知识储备】1、两向量夹角的定义：已知两个非零向量a和b，作O＝a，O＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角．向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°；向量垂直：如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.2．平面向量数量积：a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量

2、a

3、

4、b

5、·cosθ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝

6、a

7、

8、b

9、·cosθ.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有：点拨：、都是等量关系，为建立方程提供了依据，因此常以该知识点为平台考查求值问题，特别是

10、数量积的坐标表示为向量与解析几何相结合提供了强有力的依据，另外两向量垂直还有相应的等价说法，如直角三角形、两直线垂直、直径所对的圆周角为，在处理这些问题时都可以转化为数量积为零来处理。【走进高考】1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．（1）若为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围．【答案】（1）；（2），a的取值范围为.【解析】（1）连结，由为等边三角形可知在中，，，，于是，故的离心率是.（2）由题意可知，满足条件的点存在．因为P为C上一点，且，，所以，，，即，①，②，③由②③及

11、得，又由①知，故．由②③得，所以，从而故.当，时，存在满足条件的点P．所以，的取值范围为．【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．【答案】（1）见详解；（2）或.【解析】（1）设，则．由于，所以切线DA的斜率为，故．整理得设，同理可得．故直线AB的方程为．所以直线AB

12、过定点．（2）由（1）得直线AB的方程为．由，可得．于是.设M为线段AB的中点，则．由于，而，与向量平行，．解得t=0或．当=0时，=2，所求圆的方程为；当时，，所求圆的方程为．【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.3．(2018全国卷Ⅲ)已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则______．【答案】2【解析】由题意知抛物线的焦点为，则过的焦点且斜率为的直线方程为，由，消去得，即，设，，则，．由，消去得，即，则，，由，得，将，与，代入，得．4．（2017新课标Ⅲ）已知抛

13、物线：，过点的直线交与，两点，圆是以线段为直径的圆．(1)证明：坐标原点在圆上；(2)设圆过点，求直线与圆的方程．【解析】（1）设，，：由可得，则又，，故=4，，所以．即角AOB=，故坐标原点在圆上．（2）由（1）可得，故圆心的坐标为，圆的半径由于圆过点，因此，故即由（1）可得，．所以，解得或．当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为．5．(2016江苏省)如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是．【答案】【解析】由题意得，直线与椭圆方程联立可得，，由可得，，，则，

14、由可得，则．【典例分析】以两向量垂直为依据考查求值问题：【例】（2014重庆）已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________．【答案】0或6【解析】圆的标准方程为，所以圆心为，半径为3．因为，所以圆心到曲线的距离为，即，所以或6．【练习】在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上．（I）求圆C的方程；（II）若圆C与直线交于A，B两点，且求的值．【解析】（I）曲线与轴的交点为，与轴的交点为（故可设C的圆心为，则有解得．则圆C的半径为所以圆C的方程为（II）设，，其坐标满足方程组：消去，得到方程由已知可得，判别式从而①，由于，可得又所以②由①，②得，满足故

15、以两向量垂直为依据解决线过定点问题：【例】（2017新课标Ⅱ）设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点．【解析】（1）设，，则，，．由得，．因为在上，所以．因此点的轨迹方程为．（2）由题意知．设，，则，，，，，由得，又由（1）知，故．所以，即．又过点存在唯一直线垂直与，所以过点且垂直于的直线过的左焦点． 两向量垂直联想到直角三角形：例、已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的