2021届高考数学多题一解专题04 基本不等式（文理通用解析版）.docx

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1、高考数学二轮复习微专题（文理通用）多题一解之基本不等式篇【知识储备】1、基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0。(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立。(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数。:2、利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2。(简记：“积定和最小”)(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值。(简记：“和定积最大

2、”)3．常用的几个重要不等式(1)a＋b≥2(a＞0，b＞0)；(2)ab≤2(a，b∈R)。(3)2≤(a，b∈R)；(4)＋≥2(a，b同号)。以上不等式等号成立的条件均为a＝b。4、条件最值的求解通常有两种方法一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．【走进高考】【例】【2019年高考浙江卷】如图，已知点为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上

3、，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记的面积分别为．（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点G的坐标．【答案】（1）p=2，准线方程为x=−1；（2）最小值为，此时G（2，0）．【解析】（1）由题意得，即p=2.所以，抛物线的准线方程为x=−1.（2）设，重心.令，则.由于直线AB过F，故直线AB方程为，代入，得，故，即，所以.又由于及重心G在x轴上，故，得.所以，直线AC方程为，得.由于Q在焦点F的右侧，故.从而.令，则m>0，.当时，取得最小值，此时G（

4、2，0）．【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.【例】．【2019年高考天津卷文数】设，则的最小值为__________.【答案】【解析】.因为，所以，即，当且仅当时取等号成立.又因为所以的最小值为.【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.【例】【2019年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，恒成立；当时，恒成立，令，则，当，即时取等号，∴

5、，则.当时，，即恒成立，令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，则时，取得最小值，∴，综上可知，的取值范围是.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.【典例分析】基本题型：题型一：一元问题【例】（2013四川）已知函数在时取得最小值，则__．【答案】【解析】因为，，当且仅当，即，解得题型二：二元问题【例】（2012浙江）若正数满足，则的最小值是A．B．C．5D．6【答案】C【解析】，，.【例】(2018天津)已知，且，则的最小

6、值为．【答案】【解析】法一：由，得，所以，当且仅当，即时等号成立．法二：由，得，所以当且仅当，即，即时等号成立．题型三：多元问题【例】（2013山东）设正实数满足．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0B．1C．D．3【答案】B【解析】由，得．所以，当且仅当，即时取等号此时，.。点评：1．应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”。所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件。2．在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特

7、征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式。3．对于公式a＋b≥2，ab≤2，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系。4．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式。若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致。基本不等式与线性规划相结合：【例】设，满足约束条件,若目标函数的最大值为8，则的最小值为___．【答案】4【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是，易见目标函数在取最大值8，所以，所以，在时是等号成立．所以的最小值为

8、4.【例】设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为(　　)A.B.C.D．4【答案】D【例】不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由z＝ax＋by得y＝－x＋，当z变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－，在y轴上的截距为，由图可知当直线经过点A(4,6)时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，所以4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以＋＝·＝≥4，当且仅当