高考数学 玩转压轴题 专题3.11 切线处理情况多曲线不同法定度

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1、专题3.11切线处理情况多曲线不同法定度【题型综述】圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数，利用导数法求出函数在点处的切线方程，特别是焦点在轴上常用此法求切线；思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式，即可解出切线方程，注意关于（或y）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.【典例指引】类型一导数法求抛物线切线例1【2017课表1，文20】设A，B为

2、曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．类型二椭圆的切线问题例2（2014广东20）（14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.类型三直线与椭圆的一个交点例3.【2013年高考安徽卷】已知椭圆的焦距为4，且过点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为.取点,连接，过点作的垂线交轴于点.点

3、是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.【解析】（1）因为椭圆过点且椭圆C的方程是（2）由题意，各点的坐标如上图所示，则的直线方程：化简得又，所以带入求得最后所以直线与椭圆只有一个公共点.类型四待定系数求抛物线的切线问题例4【2013年高考广东卷】已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．(1)求抛物线的方程；(2)当点为直线上的定点时，求直线的方程；(3)当点在直线上移动时，求的最小值．（3）由抛物线的定义可知，所以联立，

4、消去得，当时，取得最小值为【扩展链接】1.椭圆的切线方程：椭圆上一点处的切线方程是；椭圆外一点所引两条切线方程是.1.双曲线的切线方程：双曲线上一点处的切线方程是；双曲线上一点所引两条切线方程是.2.抛物线的切线方程：抛物线上一点处的切线方程是；抛物线上一点所引两条切线方程是.4.设抛物线的焦点为，若过点的直线分别与抛物线相切于两点，则.5.设椭圆:的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于两点，则.6.设双曲线:的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于两点，则.【同步训练】1．已知椭圆与抛物线y2=2px（p＞0）共焦点F2，抛物

5、线上的点M到y轴的距离等于

6、MF2

7、﹣1，且椭圆与抛物线的交点Q满足

8、QF2

9、=．（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点P作抛物线的切线y=kx+m交椭圆于A、B两点，求此切线在x轴上的截距的取值范围．【思路点拨】（1）由抛物线的性质，求得x=﹣1是抛物线y2=2px的准线，则，求得p的值，求得焦点坐标，代入抛物线方程求得Q点坐标，利用椭圆的定义，即可求得a的值，由b2=a2﹣c2=8，即可求得椭圆方程；（2）将直线分别代入抛物线，由△=0，求得km=1，将直线方程代入椭圆方程，求得△＞0，代入即可求得m的取值

10、范围，切线在x轴上的截距为，又，即可求得切线在x轴上的截距的取值范围．（2）显然k≠0，m≠0，由，消去x，得ky2﹣4y+4m=0，由题意知△1=16﹣16km=0，得km=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）由，消去y，得（9k2+8）x2+18kmx+9m2﹣72=0，其中（9k2+8）（9m2﹣72）＞0，化简得9k2﹣m2+8＞0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）又，得m4﹣8m2﹣9＜0，解得0＜m2＜9，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）切线在x轴上的截距为，又，∴切线在x轴上的截距的取值范围是（﹣9，0）．﹣﹣

11、（12分）2.（2017•鸡泽县校级模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中一个顶点是双曲线﹣=1的焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，过点A，B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为，其中一个顶点是双曲线﹣=1的焦点，旬出方程组求出a，b，c，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），求出椭圆在点A处的切线方程为=1，①椭圆在点B处的切

12、线方程为=1，②，联立①②，得y=，求出交点的轨迹方程为y=．当直线l的斜率不存在时，无交点．由此能过求出过点A，B所作椭圆的两条切线的交点的轨迹方程．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），设在A（x1，y1）处切线方