高数下试卷分类解析-01微分学.doc

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1、高数下试卷分类解析-微分学2011级1.32.设,则3.曲面在处的切平面方程是二、（本题8分）设函数具有二阶连续偏导数,求函数的混合二阶偏导数解:，从而同理（或由连续）可得三、（本题8分）求二元函数在点沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向的值不变。解方向导数沿梯度反方向减少得最快，即方向，单位化为沿垂直梯度的方向的值不变，即的方向，解得2010级1.函数在点的梯度为2.函数的极值点是1.设,则0三、（8分）证明:在点处连续,,与存在,但在处不可微.证因为,所以在点处连续;,,所以,与存在,但不存在(只要取便可证明),从而该函数在处不可微.四、（本题8分）

2、设函数有连续偏导数,试用极坐标与直角坐标的转化公式,将转化为下的表达式.解:从而故2009级1、[4分]3、[4分]]向量场的散度为4、[4分]在点处的二、[8分]设，其中函数具有二阶连续偏导数,求三、[8分]求函数在圆域上的最大值与最小值。（二、；三、最大值，最小值）2008级1、函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的必要条件，又是它在该点有方向导数的充分条件2、[4分]向量场的散度为.向量场的旋度为.3、[4分]]设有连续偏导数，则6、设，则它有极小值二、[8分]设，求。解：两边取微分，得从而，三、[7分]设长方形的长、宽、高满足，求体积最小的长方体。解：令，则，从而再由即约束条件

3、，可得，从而。由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为3。十一、[6分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）设是曲线在点处的切向量，求函数在该点沿的方向导数解：方程组两端对求导，得，把代入得，解得，于是在点处的切向量为，单位切向量为所求方向导数为。十二、[7分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点证：令，则，从而曲面在点处的切平面为，其中为动点。显然时成立，故切平面均过。证毕2007级1、[4分]设，则2、[4分]曲线在点的切线方程为.3、[4分]已知，则04、[4分]函数在点处沿从点到点方向的方向导数是六、[

4、7分]求在约束条件下的最大值和最小值解：令则由于最值一定存在，所以最大值为3，最小值为七、[7分]设，其中具有二阶连续偏导数，求.解：十、[7分]（化工类做）在曲面上求出切平面，使所得的切平面与平面平行。解：曲面的法向量应与平面平面的法向量平行，从而有，由于切点在曲面上因此切平面为十一、[6分]（化工类做）设是由方程所确定的函数，其中可导，求解：对方程两边取微分得即十二、[6分]（化工类做）证明函数在原点处可微，但在点处不连续解：由定义；同理由于从而函数在原点处可微。当由于不存在，因此在点处由于不存在而不连续。2006级1.若在点处可微，则下列结论错误的是（B）每题3分(A）在点处连续

5、；(B)在点处连续；(C)在点处存在；(D)曲面在点处有切平面.2.二重极限值为（D）(A）；(B)；(C)；(D)不存在4.已知直线和平面，则（B）(A）在内；(B)与平行，但不在内；(C)与垂直；(D)与不垂直，与不平行（斜交）七、（本题6分）设函数，证明：1、在点处偏导数存在；2、在点处不可微。解：,极限不存在故不可微八、（本题7分）设具有连续二阶偏导数，求解：十、（本题8分）在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标解：设切点，切平面方程为，四面体体积为令，，十一、（化工类做，本题7分）已知直线和证明：，并求由和所确定的平面方程证

6、：，故，由这两条直线所确定的平面方程为2005级1、[3分]设，且可导，则为(A)；(B)；(C)；(D)2、[3分]从点到一个平面引垂线，垂足为点，则此平面方程是（）(A)；(B)；(C)；(D)1、[3分]已知单位向量适合等式，则.2、[3分]设，则.3、[3分]曲面在点处的切平面方程是.三b.[7分]（化工类做本题，非化工类不做本题）一条直线在平面上，且与另两条直线及都相交，求该直线方程四、b.[7分]（化工类做本题，非化工类不做本题）求函数在点处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数五、应用题[8分]做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？十一、证明题[4

7、分]试证在点处不连续，但存在一阶偏导数