第4章 线性系统的根轨迹法.ppt

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1、第四章 根轨迹法内容提要根轨迹是一种图解法，它是根据系统的开环零极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进行定性分析和定量计算。根轨迹的基本条件，常规根轨迹绘制的基本规则，广义根轨迹的绘制，用根轨迹图确定闭环极点及系统性能指标。介绍了如何利用MATLAB绘制系统的根轨迹。1第四章 根轨迹法知识要点传递函数的零，极点表示，根轨迹的概念，根轨迹的基本条件，根轨迹的基本规则，等效开环传递函数的概念，根轨迹定性分析系统性能指标随系统参数变化的趋势，确定系统闭环零极点及系统性能指标。2第四章 根轨迹法线性时不变系

2、统的动态性能主要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点），所以控制系统的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调整开环增益是改变闭环极点的常用办法。1948年伊凡思(W.R.Evans)提出了根轨迹法，它不直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的闭环特征根。所谓根轨迹就是系统的某个参数连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹，如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根据已知的开环增益找到相应的闭环特征根，也可以根据期望的闭环特征根确定开环增益。3第四章 根轨迹法目录§4.1根轨迹的基本概念§4.2绘制典型根轨迹§4.3特殊根轨迹图§4.4用MA

3、TLAB绘制根轨迹图§4.5控制系统的根轨迹分析小结4第四章 根轨迹法图4-1反馈控制系统§4.1根轨迹的基本概念4.1.1什么是根轨迹考虑图4-1所示负反馈控制系统，设其开环传递函数为：则该系统的闭环特征方程为：5第四章 根轨迹法当K从零到无穷大连续变化时，闭环极点S在平面（复平面）上画出的根轨迹如图4-2所示。从根轨迹图可以看到：当00.385时有两个闭环极点成为共轭复数，只要0

4、，根轨迹清晰地描绘了闭环极点与开环增益K的关系。6第四章 根轨迹法图4-2根轨迹图7第四章 根轨迹法今天，在计算机上绘制根轨迹已经是很容易的事，由于计算机强大的计算能力，所以计算机绘制根轨迹大多采用直接求解特征方程的方法，也就是每改变一次增益K求解一次特征方程。让K从零开始等间隔增大，只要K的取值足够多足够密，相应解特征方程的根就在S平面上绘出根轨迹。4.2.2根轨迹的基本条件8第四章 根轨迹法考察图4-1所示的负反馈系统，其闭环传递函数为:闭环特征方程为：根轨迹上的每一点S都是闭环特征方程的根，所以，根轨迹上的每一点都应满足：9第四章 根轨迹

5、法上式可分为幅值条件:和相角条件：在S平面上，给定了幅值和相角，就对应一个固定的点，所以既满足幅值条件又满足相角条件的S值就是特征方程的一组根，也就是一组闭环极点。10第四章 根轨迹法根轨迹法研究系统的一个可调参数对闭环极点的影响，最常见的可调参数是开环增益K。令G(s)=KG0(s)，显然，K的变动只影响幅值条件不影响相角条件，也就是说，根轨迹上的所有点满足同一个相角条件，K变动相角条件是不变的。所以，绘制根轨迹可以这样进行：首先在S平面上找出所有符合相角条件的点，这些点连成的曲线就是根轨迹，然后反过来按幅值条件求出根轨迹上任一点的K值。11

6、第四章 根轨迹法这里讨论的是以开环增益K为参变量的根轨迹，它是最基本、最常用的根轨迹，为了区别，我们称之为‘典型根轨迹或常规根轨迹’。仍然针对图4-1所示负反馈系统，设系统开环传递函数可以表示为：4.2.1开环零极点与相角条件§4.2绘制典型根轨迹12第四章 根轨迹法式中p1,p2,…pn，为开环极点，z1,z2,…zm为开环零点。这样，系统的闭环特征方程可以表示为：以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足该方程，相应地，我们称之为‘典型根轨迹方程’。上式也可以写成：13第四章 根轨迹法这时，幅值条件具体化为：相角条件具体化为：14第四章 根轨

7、迹法按相角条件绘制根轨迹图的依据。具体方法是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接就得到根轨迹图。以下列4阶系统为例：15第四章 根轨迹法先在复平面上标出开环极点p1,p2,p3,p4和开环零点z1如图4-3。对试验点S，如果它在根轨迹上，就应当满足相角条件：量出或计算出5个角度，就知道试验点s是否在根轨迹上。判别了一个试验点，再判别其它试验点．．．．．．。16第四章 根轨迹法绘制根轨迹——依据的是开环零极点分布，遵循的是不变的相角条件

8、，画出的是闭环极点的轨迹。图4-3相角条件的图示17第四章 根轨迹法纯粹用试验点的办法手工作图，工作量是十分巨大的，而且对全貌的把握也很困难，于是人们