第4章 线性系统的根轨迹法

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1、第四章 根轨迹法1第四章根轨迹法内容提要根轨迹是一种图解法，它是根据系统的开环零极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进行定性分析和定量计算。根轨迹的基本条件，常规根轨迹绘制的基本规则，广义根轨迹的绘制，用根轨迹图确定闭环极点及系统性能指标。介绍了如何利用MATLAB绘制系统的根轨迹。第四章 根轨迹法2知识要点传递函数的零，极点表示，根轨迹的概念，根轨迹的基本条件，根轨迹的基本规则，等效开环传递函数的概念，根轨迹定性分析系统性能指标随系统参数变化的趋势，确定系统闭环零极点及系统性能指标。第四章 根轨迹法3线性时不变系统的动态性能主要取决于闭环系统特

2、征方程的根（闭环极点），所以控制系统的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调整开环增益是改变闭环极点的常用办法。1948年伊凡思(W.R.Evans)提出了根轨迹法，它不直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的闭环特征根。所谓根轨迹就是系统的某个参数连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹，如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根据已知的开环增益找到相应的闭环特征根，也可以根据期望的闭环特征根确定开环增益。第四章 根轨迹法4目录§4.1根轨迹的基本概念§4.2绘制典型根轨迹§4.3特殊根轨迹图§4.4用MATLAB绘制根轨迹图§4.5控制系统的根轨迹分析小结第四章 根轨迹法5§4—1根

3、轨迹的基本概念一、根轨迹的定义如图所示一般闭环系统的闭环传递函数为闭环控制系统的性能取决于闭环零、极点闭环零点＝G1(s)中的零点和H(s)中的极点，很容易求得闭环极点由特征方程：1+G1(s)H(s)＝0求出，很难求得R(s)G1(S)H(S)C(s)第四章 根轨迹法6根轨迹法的优点：不用求解高阶方程，通过图解的方法找出闭环极点，并且知道闭环极点的变化趋势，可以方便地实现高阶系统的性能分析和设计。根轨迹的定义：开环传递函数中某一参数从0→∞变化时，闭环极点的变化轨迹称为根轨迹。第四章 根轨迹法7式中——开环传递函数的零点；——开环传递函数的极点；系统开环传递函数的零极点表达式为K1——根轨

4、迹放大系数。常规根轨迹计算机绘根轨迹可使用第四章 根轨迹法8确定闭环极点的特征方程为若令K1由0→∞连续变化，则n个闭环极点都将连续变化，在[S]平面上将各绘出一条变化轨迹，即共有n条特征根的轨迹；这些轨迹就是系统的根轨迹。或者写为第四章 根轨迹法9二、根轨迹的示例设系统如图4—2所示，它的开环传递函数为系统的闭环传递函数为第四章 根轨迹法10由此可得系统的特征方程式为求解得出两个特征根为令参数K1在0→∞范围内变化，就可在复平面上得到根轨迹图。从图中可看出系统性能随K1变化而变化的趋势：当K1>0时，系统始终是稳定的当K1≤4时，系统有两个负实根，对应的过渡过程无振荡当K1>4时，系统有一

5、对共轭复根，系统是衰减振荡的。第四章 根轨迹法11今天，在计算机上绘制根轨迹已经是很容易的事，由于计算机强大的计算能力，所以计算机绘制根轨迹大多采用直接求解特征方程的方法，也就是每改变一次增益K求解一次特征方程。让K从零开始等间隔增大，只要K的取值足够多足够密，相应解特征方程的根就在S平面上绘出根轨迹。4.2.2根轨迹的基本条件第四章 根轨迹法12考察图4-1所示的负反馈系统，其闭环传递函数为:闭环特征方程为：根轨迹上的每一点S都是闭环特征方程的根，所以，根轨迹上的每一点都应满足：第四章 根轨迹法13上式可分为幅值条件:和相角条件：在S平面上，给定了幅值和相角，就对应一个固定的点，所以既满足

6、幅值条件又满足相角条件的S值就是特征方程的一组根，也就是一组闭环极点。第四章 根轨迹法14根轨迹法研究系统的一个可调参数对闭环极点的影响，最常见的可调参数是开环增益K。令G(s)=KG0(s)，显然，K的变动只影响幅值条件不影响相角条件，也就是说，根轨迹上的所有点满足同一个相角条件，K变动相角条件是不变的。所以，绘制根轨迹可以这样进行：首先在S平面上找出所有符合相角条件的点，这些点连成的曲线就是根轨迹，然后反过来按幅值条件求出根轨迹上任一点的K值。第四章 根轨迹法15这里讨论的是以开环增益K为参变量的根轨迹，它是最基本、最常用的根轨迹，为了区别，我们称之为‘典型根轨迹或常规根轨迹’。仍然针对

7、图4-1所示负反馈系统，设系统开环传递函数可以表示为：4.2.1开环零极点与相角条件§4.2绘制典型根轨迹第四章 根轨迹法16式中p1,p2,…pn，为开环极点，z1,z2,…zm为开环零点。这样，系统的闭环特征方程可以表示为：以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足该方程，相应地，我们称之为‘典型根轨迹方程’。上式也可以写成：第四章 根轨迹法17这时，幅值条件具体化为：相角条件具体化为：第四章 根轨迹法18