线性系统的根轨迹法4学时.doc

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1、第4章线性系统的根轨迹法（4学时）【主要讲授内容】4.1根轨迹法的基本概念4.2根轨迹绘制的基本法则4.3系统性能分析4.4控制系统复域设计【重点与难点】1、重点：由根轨迹分析系统性能。2、难点：广义根轨迹的分析与应用。【教学要求】1、了解根轨迹法的概念；2、掌握根轨迹方程以及绘制根轨迹的基本法则；3、会用根轨迹法分析系统；4、掌握主导极点的概念及其应用；5、会用MATLAB绘制根轨迹【实施方法】课堂讲授，PPT配合4.1根轨迹法的基本概念根轨迹是开环系统某一参数由零变化到无穷时，闭环系统特征方程式的根（闭环极点）在平面上变化的轨迹,它是一种由

2、开环传函求闭环特征根的图解方法。利用根轨迹法可以研究系统某个参数的变化对控制系统闭环传函数极点分布的影响。可以根据根轨迹决定反馈控制系统的型别，根据系统的型别和开环增益就可以决定系统的稳态性能。分析表明:根轨迹与系统性能之间有着密切的联系.所谓根轨迹法就是根据系统的结构、参数(即系统的开环传递函数)给出系统的根轨迹图，并利用系统根轨迹对系统进行分析和设计。由此可见，根轨迹法的关键是先要给出系统的根轨迹图。4.2根轨迹绘制的基本法则根轨迹是系统所有闭环极点的集合。我们以图4-1所示系统为例说明:图4-1控制系统框图系统的闭环传递函数为:令闭环传递

3、函数表达式的分母为零，得闭环系统特征方程:上式为根轨迹方程，其实质就是系统的闭环特征方程。根轨迹上的点应同时满足的两个条件：幅值条件和相角条件。由于幅值条件与有关，而相角条件与无关，所以满足相角条件的任一点，代入幅值条件总可以求出一个相应的值，也就是说满足相角条件的点，必同时满足幅值条件。所以相角条件是确定平面上根轨迹的充要条件。注意：绘制根轨迹时，只需要使用相角条件，只有当需要确定根轨迹上各点的对应的值时，才使用幅值条件。常规根轨迹及其绘制绘制根轨迹时，需将开环传递函数化为用零、极点表示的标准形式以根轨迹增益或开环增益为可变参数绘制的根轨迹称

4、为常规根轨迹（常见情况）。法则1根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。对于实际的物理系统，开环零点数m一般小于或等于开环极点数n。当mn时可认为有条根轨迹的起点在无穷远处法则2根轨迹的分支数与开环有限零点数和有限极点数中的大者相等，它们是连续的并且对称于实轴。4.2.1根轨迹的渐近线渐近线可认为是Kg→∞、s→∞时的根轨迹。渐近线的数目等于趋向无穷远处根轨迹的分支数。法则3当开环有限极点数大于开环有限零点数时，有条根轨迹分支沿着与实轴交角为、交点为的一组渐近线趋向无穷远处，且有法则4实轴上的某一区域

5、，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。4.2.2根轨迹的分离点法则5两条或两条以上根轨迹分支在平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点（或会合点），分离点坐标由下式决定：法则6始于开环复数极点处的根轨迹的出射角和止于开环复数零点处的根轨迹的入射角可分别按下式计算:法则7若根轨迹与虚轴相交，则交点处的Kg值和值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的，然后分别令其实部和虚部为零而求得。4.2.3闭环极点的和与积法则8在的情况下，闭环n个极点之和满足；闭环个极点之积满足。4.2.4开环根轨迹增益Ｋg的求取根轨迹上任意点的

6、值，可由根轨迹方程的幅值条件在根轨迹上图解求取。根轨迹的幅值条件为：由此可得：所以利用上式，在根轨迹上用图解法可求出任意点的值。绘制根轨迹的一般步骤在已知系统的开环零、极点的情况下，利用以上绘制根轨迹的基本法则就可以迅速准确地确定出根轨迹的主要特征和大致图形。如果需要，再利用根轨迹方程的相角条件。利用试探法确定若干点，就可以绘制出准确的根轨迹。绘制概略根轨迹的一般步骤为：　　　第一步：根据给定的开环传递函数，求出开环零、极点，并把它们标在复平面上；　　　　第二步：确定实轴上的根轨迹；　　　第三步：确定根轨迹的渐近线；　　　第四步：确定根轨迹的分

7、离点(会合点)。第五步：计算根轨迹的出射角和入射角；　　　第六步：确定根轨迹与虚轴的交点；　　　第七步：大体绘出根轨迹的概略形状；　　　第八步：必要时，对根轨迹进行修正，以画出系统精确根轨迹。　　需要注意的是，在根轨迹绘制过称中，由于需要对相角和模值进行图解测量，所以横坐标轴与纵坐标轴必须采用相同的坐标比例尺。广义根轨迹及其绘制在控制系统中，除根轨迹增益Kg（或开环增益K）外，其他情形下的根轨迹统称为广义根轨迹。参数根轨迹的绘制法则与常规根轨迹完全相同，但在绘制之前需要对闭环特征方程进行等效变换。假设系统除Kg外的任意变化参数为A，则需要用闭环

8、特征方程中不含有A的各项去除该方程，使原特征方程式变为的形式。式中为系统的等效开环传递函数，它具有如下形式若研究的控制系统为非最小相位系统（在右半s平