线性系统的根轨迹法.ppt

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1、第四章线性系统的根轨迹法（Rootlocus）主要要求：根轨迹的概念根轨迹方程绘制根轨迹的基本法则广义根轨迹（参数根轨迹、零度根轨迹）用根轨迹法分析系统性能系统的根轨迹是指当系统的某一参数或某些参数发生变化时，闭环系统特征方程的根在S平面的变化轨迹。1948美国WalterR.Evans4.1根轨迹的概念他的两篇论文GraphicalAnalysisofControlSystem,AIEETrans.PartII,67(1948),pp.547-551ControlSystemSynthesisbyRootLocusMethod,AIEETrans.PartII,69(195

2、0),pp.66-69基本上建立起根轨迹法的完整理论。GraphicalAnalysisofControlSystem,AIEETrans.PartII,67(1948),pp.547-551ControlSystemSynthesisbyRootLocusMethod,AIEETrans.PartII,69(1950),pp.66-69根轨迹与系统性能的关系稳定性稳态性能动态性能4.1根轨迹的概念二、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系如图所示系统闭环传递函数为将前向通道传递函数G（s）表示为：为前向通道增益，为前向通道根轨迹增益式中为反馈通道的根轨迹增益。对于有m个开环零

3、点和n个开环极点的系统，必有f+l=m和q+h=n闭环传递函数可得出以下结论闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益；闭环系统零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成；闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨迹增益有关。根轨迹法的任务是在已知开环零、极点分布的情况下，如何通过图解法求出闭环极点。闭环传递函数闭环特征方程根轨迹方程系统开环传递函数时间常数形式零极点形式开环增益开环根轨迹增益根轨迹方程闭环特征方程D(s)=1+G(s)H(s)=0闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。根轨迹方程G(s)H(s)=-1式中G(s)H(s)是系统开环传递函数。设开环

4、传递函数有m个零点，n个极点，并假定n≥m，这时上式又可以写成：不难看出，式子为关于s的复数方程，因此，可把它分解成模值方程和相角方程。相角方程模值方程180度根轨迹注意在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹，而模值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点的值。模值方程不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件。例4-1它们应满足相角方程已知系统的开环传递函数试证明复平面上点是该系统的闭环极点。若系统闭环极点为证明：该系统的开环极点例4－1开环零、极点分布图(k=0)以为试验点，可得图4－4以为试验点，观察

5、图4－4，可得证毕可见，都满足相角方程，所以，点是闭环极点。22例4-2解根据模值方程求解值模值方程已知系统开环传递函数当变化时其根轨迹如下图所示，求根轨迹上点所对应的K值。根据上图可得所以上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点对应的值。根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求出开环根增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。4.2、绘制根轨迹图的基本法则在S平面内标出开环传函的极点（×）及零点（○）箭头表示参数变化的方向4.2、绘制根轨迹图的基本法则把系统的特征方程化为标准零-极点形式m个开环

6、零点，n个开环极点z24.2、绘制根轨迹图的基本法则在S平面内标出开环传函的极点（×）及零点（○）一、根轨迹的分支数分支数＝闭环特征方程根的个数=max{n,m}4.2、绘制根轨迹图的基本法则二、根轨迹对称于实轴闭环极点为实数→在实轴上复数→共轭→对称于实轴起于开环极点，终于开环零点。三、根轨迹的起点与终点由根轨迹方程有：若开环零点数m<开环极点数n(有个开环零点在无穷远处)则有()条根轨迹趋于无穷远点→→起点→→终点实轴上的某一区段，若其右边的开环实数零、极点个数之和为奇数，则实轴上的该区段是根轨迹。证明：设一系统开环零、极点分布如图。四、实轴上的根轨迹复平面上的开环共轭零

7、点或共轭极点，对实轴上的根轨迹上的点，相角贡献为零。S1点左边开环实数零、极点到S1的向量为零S1点右边开环实数零、极点到S1的向量为在实轴上任取一试验点代入相角方程则所以相角方程成立，即是根轨迹上的点。证毕如满足相角条件必有所以，L-h必为奇数，当然L+h也为奇数。一般，设试验点右侧有L个开环零点，h个开环极点，则有关系式设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求时的闭环根轨迹。解：将开环传递函数写成零、极点形式设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(