线性系统的根轨迹分析法

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1、第4章线性系统的根轨迹分析法其基本思路：当开环系统的一个或多个参数发生变化时，根据系统的开环零点和极点，借助若干条绘图准则，绘制出闭环特征根变化的轨迹，简称根轨迹。利用根轨迹法可以：分析闭环系统的稳定性计算（或估算）闭环系统的瞬态和稳态性能指标确定闭环系统的某些参数对系统性能的影响对闭环系统进行校正根轨迹定义:控制系统的某一参数由零到无穷大变化时，闭环系统的特征根（闭环极点）在s平面上形成的轨迹。上述两式称为满足根轨迹方程(kg>=0)的幅值条件和相角条件。当根轨迹增益kg>=0时：根轨迹方程可写为：即：4.1.2根轨迹的幅值和相角条

2、件上述两式称为满足根轨迹方程(kg<0)的幅值条件和相角条件。当根轨迹增益kg<0时：根轨迹方程可写为：即：根轨迹的两种类型：180o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg>=0)的点连成的曲线，称为180o等相角根轨迹，简称根轨迹。0o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg<0)的点连成的曲线，称为0o等相角根轨迹。这样，当根轨迹增益从kg=0到kg=±∞变化时，根据根轨迹应满足的相应幅值和相角条件，完全可以确定s平面上的根轨迹和根轨迹上各点对应的kg值。规则180o等相角根轨迹0o等相角根轨迹连续性、对称性和分支数

3、根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。其分支数等于开环有限零点和极点数目中的大者。同左起点和终点起始于开环极点，终止于开环零点同左渐进线条数：n-m同左与实轴交点：同左与实轴夹角：实轴上根轨迹若实轴上某点右边的开环有限零点和有限极点数目之和为奇数，则该点是根轨迹上的点若实轴上某点右边的开环有限零点和有限极点数目之和为偶数（包括0），则该点是根轨迹上的点控制系统根轨迹绘制示例分离(会合)点分离（会合）点为方程:的根同左分离（回合）点处的根轨迹增益：同左出射、入射角出射角：出射角：入射角：入射角：与虚轴的交点令s=jw，带入闭环特征方程求w和k

4、g。或用劳斯判据求临界稳定时的闭环特征根。同左闭环特征根之和与之积同左根据上述根轨迹绘制规则，可以画出控制系统完整的根轨迹图。应当指出的是，并不是每一个系统的根轨迹绘制都要全部使用上述基本规则。根据系统的不同，有时只使用部分规则就可以绘制出完整的根轨迹。例1已知反馈控制系统的特征方程是试绘制当kg从0→＋∞变化时的根轨迹。解：根据要求，采用180o等相角根轨迹绘制规则进行绘制。系统的根轨迹方程为：系统的开环极点和零点为：根轨迹的分支数：根轨迹有两条分支，分别起始于开环极点-p1，-p2处，终止于开环零点-z1，-z2处。实轴上的根轨迹

5、区间为：[-4，0]根轨迹的渐近线：开环极点与开环零点的数目相同，该根轨迹没有渐进线。分离（会合）点：令代入方程有：s1=-1.24是根轨迹的会合点，s2=3.24不是根轨迹上的点，应该舍去，即根轨迹没有分离点。会合点对应的根轨迹增益为：出射角：先求开环极点-p1处的出射角。画出各个开环零点和极点（除了-p1）到-p1的向量，并标出每个向量的相角，分别为a1,a2,b1。出射角为：根轨迹与虚轴的交点：系统的闭环特征方程为：劳斯阵列如下：由于kg≥0，劳斯阵列中没有全为零的行。所以，根轨迹与虚轴没有交点。根轨迹如下：