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1、随机变量的数字特征数学期望一、离散型随机向量的数学期望一、离散型随机向量的数学期望解例1设(X,Y)的分布律为求一、离散型随机向量的数学期望一、离散型随机向量的数学期望二、二维连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望设(X,Y)为二维连续型随机变量，则例2设(X,Y)服从G上的均匀分布，其中G为xoy平面内由x轴、y轴及围城的三角区域.求E(X)，E(Y).解二、连续型随机向量的数学期望该公式的重要性在于，当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，只需知道X的分布就可以了.这给求
2、随机变量函数的期望带来很大方便.三、随机变量函数的数学期望定理2设g(X,Y)是随机变量X、Y的函数，且E[g(X,Y)]存在(2)如果X、Y是连续型随机变量，联合概率密度为f(x,y)，则(1)如果X、Y是离散型随机变量，联合概率分布为pij,i,j=1,2,…，则三、随机变量函数的数学期望解例3设(X,Y)的分布律为求三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望例11解三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望方差的定义四、随机向量的方差二维随机变量方差的计算方法与一维类似，但
3、需要先根据联合分布计算边缘分布，再根据具体公式求解方差。四、随机向量的方差四、随机向量的方差五、协方差1.定义任意两个随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y),定义为2.性质(1)Cov(X,C)=0,C为常数(2)Cov(X,X)=D(X)(3)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}五、协方差(6)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(5)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常数(7)D(X±Y)=D
4、(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)(4)Cov(aX+b,Y)=aCov(X,Y)a,b是常数Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)可见，若X与Y独立，则Cov(X,Y)=0.3.计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即五、协方差五、协方差例1已知离散型随机变量(X,
5、Y)的概率分布如下：求解易求得X，Y的概率分布分别为从而五、协方差例1已知离散型随机变量(X,Y)的概率分布如下：求于是解例2设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为求Cov(X,Y).五、协方差解例2设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为求Cov(X,Y).五、协方差解例3设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为求Cov(X,Y)，并判断X与Y是否相互独立.五、协方差解同理，X与Y不相互独立五、协方差由此可知，X与Y相互独立Cov(X,Y)=0反之不一定成立协方差的大小在一定程度上反映了X
6、和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数.五、协方差为随机变量X和Y的相关系数.定义设D(X)>0，D(Y)>0，称在不致引起混淆时，记为.六、相关系数相关系数的性质：证:由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2bCov(X,Y)令，则上式为D(Y-bX)=由于方差D(Y)是正的,故必有1-≥0,所以
7、
8、≤1二、相关系数存在常数a,b
9、(b≠0)，使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1线性相关.二、相关系数注：相关系数刻画了X与Y的“线性相关”程度.的值越接近1，Y与X的线性相关程度越高；的值越接近0，Y与X的线性相关程度越弱.时，Y可完全由X的线性函数给出；时，Y与X之间不是线性关系.由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)=0.故请看下例.二、相关系数3.X和Y独立时，=0，即X与Y不相关.注：时，只说明Y与X之间没有线性关系，并不能说明Y与X之间没有其他函数关系，从而不能推出Y与X相互独立.从而即X与Y不相关.即X与Y不独立
10、.解六、相关系数但X与Y满足例4设服从上的均匀分布，，，判断X与Y是否相关，是否独立？定理若随机变量X与Y的方差都存在，且均不为零；则下列四个命题等价.（1）；（2）Cov(X,Y)=0；（3）E(XY)=EX·EY；（4）D(X±Y)=DX+DY.六、相关系数但可以证明对下述情形，独立与不相关等价前面，我们已经看到：若X与Y独立，则X与Y不相关.但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立X与Y不相关六、相关系数解例5设二维连
