备战2021届新高考数学（理）三轮查缺补漏30立体几何大题专项练习（解析版）.doc

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1、专题30立体几何大题专项练习（解析版）1．如图，直棱柱的底面△ABC中，，，棱，如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系．（1）求平面的法向量；（2）求直线与平面夹角的正弦值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）为平面A1B1C的法向量，则，解方程组即得平面的法向量；（2）利用向量法求直线与平面夹角的正弦值．【详解】（1）由题意可知故设为平面的法向量，则即，令，则试卷第23页，总23页（2）设直线与平面夹角为，而，所以直线与平面夹角的正弦值=【点睛】（1）本题主要考查直线和平面所成角的求法，考查法向量的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力．（2）直

2、线和平面所成的角的求法方法一：(几何法)找作(定义法)证(定义)指求(解三角形)，其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形．方法二：(向量法)，其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角．2．如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．（）求与平面所成角的正弦．（）求二面角的余弦值．【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；（2）先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可.详解：试卷第23页，总23页（）∵是矩形，∴，又∵

3、平面，∴，，即，，两两垂直，∴以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，由，，得，，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，∴，∴，故与平面所成角的正弦值为．（）由（）可得，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，∴，∴，试卷第23页，总23页故二面角的余弦值为．点睛：考查空间立体几何的线面角，二面角问题，一般直接建立坐标系，结合向量夹角公式求解即可，但要注意坐标的正确性，坐标错则结果必错，务必细心，属于中档题.3．已知棱长为2的正方体，点M、N分别是和的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.(1)写出图中M、N的坐标；(2)求直线AM与NC

4、所成角的余弦值.【答案】(1)M（2，1，2），N（2，2，1）.(2)．【分析】(1)根据正方体的棱长，直接写出坐标；(2)利用向量夹角公式能求出直线AM与CN所成的角的余弦值．【详解】(1)由于正方体的棱长为2.由题意知A（2，0，0），B（2，2，0），∴M（2，1，2），C（0，2，0），∴N（2，2，1）.(2)由(1)可知，（2，0，1），设直线AM与CN所成的角为θ，则cosθ＝

5、cos

6、＝

7、

8、．∴直线AM与CN所成的角的余弦值是．试卷第23页，总23页【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查了空间向量法的应用，是基础题．4．如图，直四棱柱AB

9、CD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求AM与平面A1MD所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【分析】要证线面平行，先证线线平行建系，利用法向量求解。【详解】（1）连接ME，BC∵M，E分别为B1B，BC的中点∴又∵∴A1DCB1是平行四边形∴∴试卷第23页，总23页∴NDEM是平行四边形∴NM∥DE又NM平面C1DE∴NM∥平面C1DE(2)由题意得DE与BC垂直，所以DE与AD垂直：以D为原点，DA，DE，DD1三边分别为x，y，z轴，建立

10、空间坐标系O-xyz则A（2，0，0），A1（2，0，4），M（1，，2）设平面A1MD的法向量为则∴解得又∴∴AM与平面A1MD所成角的正弦值.【点睛】要证线面平行，可证线线平行或面面平行。求线面所成角得正弦值，可用几何法做出线面角，再求正弦值；或者建立空间直角坐标系，利用法向量求解。5．如图，在直三棱柱中，，，，试卷第23页，总23页（1）证明：当时，求证：平面；（2）当时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）证明，即可；（2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后可得答案.【详解】（1）直棱柱平面平面且，

11、平面平面，又由勾股定理可得因为，平面;试卷第23页，总23页（2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则所以，设平面的一个法向量为，则，即令则所以可取，同理平面的一个法向量为，二面角的余弦值为6．在三棱锥中，，，.试卷第23页，总23页（1）求证：；（2）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取中点，连接，，证明平面即可；（2）首先证明平面，然后以射线，，为，，正半轴建系，然后算出和平面的法向量即可得到答案.【详解】（1）取中点，连接，，因为，，所以，，又因为，所以平面，即.（2）由（1）得，