2020_2021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质课时跟踪训练含解析新人教A版选修2_1.doc

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1、抛物线的简单几何性质[A组　学业达标]1．抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　)A．4　　　　　　　B．9C．10D．18解析：抛物线y2＝2px的焦点为，准线方程为x＝－.由题意可得4＋＝9，解得p＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.答案：C2．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在解析：当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意．当斜率存在时，由焦

2、点坐标为(1,0)，可设直线方程为y＝k(x－1)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝＝5，∴k2＝，即k＝±.因而这样的直线有且仅有两条．答案：B3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么

3、PF

4、等于(　　)A．4B．8C．8D．16解析：由抛物线方程y2＝8x，可得准线l：x＝－2，焦点F(2,0)，设点A(－2，n)，∴－＝，∴n＝4.∴P点纵坐标为4.由(4)2＝8x，得x＝6，∴P点坐标为(6,4)，∴

5、PF

6、＝

7、PA

8、＝

9、6－(－2)

10、＝8，故选B

11、.答案：B4．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则

12、FA

13、＋

14、FB

15、等于(　　)A．2B．3C．5D．7解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

16、FA

17、＋

18、FB

19、＝x1＋x2＋2.由得x2－5x＋4＝0，∴x1＋x2＝5，x1＋x2＋2＝7.答案：D5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是(　　)A．(2，±2)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,2)解析：由题意知F(1,0)，设A，则＝，＝.由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选

20、B.答案：B6．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若

21、AB

22、＝4，则焦点F到直线AB的距离为________．解析：由抛物线的方程可知F(1,0)，由

23、AB

24、＝4且AB⊥x轴得y＝(2)2＝12，∴xA＝＝3，∴所求距离为3－1＝2.答案：27．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则

25、AB

26、＝________.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为抛物线的准线方程为x＝－1，焦点为F(1,0)，则根据抛物线的定义可知

27、AF

28、＝x1＋1，

29、BF

30、＝x2＋1，所以

31、AB

32、＝x1＋1＋x2＋1＝

33、2xM＋2＝2×2＋2＝6.答案：68．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若

34、OA

35、＝

36、OB

37、，且△AOB的面积为16，则∠AOB＝________.解析：由

38、OA

39、＝

40、OB

41、，知抛物线上点A，B关于y轴对称．设A，B，则S△AOB＝·2a·＝16，解得a＝4，∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.答案：90°9．直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若

42、AB

43、＝8，求直线l的方程．解析：因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，若l与x轴垂直，则

44、AB

45、＝4，不符合题意，所以可设所求直线l的方程为y＝k(x－

46、1)．由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则由根与系数的关系，得x1＋x2＝.又AB过焦点，由抛物线的定义可知

47、AB

48、＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，所以＝6，解得k＝±1.所以所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.10．已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点．(1)求证：l与C必有两交点．(2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．解析：(1)证明：联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，可得2x2－kx－1＝0，所以Δ＝k2＋8>0，所以l与C必有两交点．(2)设A(x1，y

49、1)，B(x2，y2)，则＋＝1①，因为y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，代入①，得2k＋＝1②，由(1)可得x1＋x2＝k，x1x2＝－，代入②得k＝1.[B组　能力提升]11．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝(　　)A．2或－1B．－1C．2D．3解析：由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，因为AB中点的横坐标为2，则＝4，即k＝2或k＝－1，又由Δ＝16(k＋2)2－16k2>0，知k＝2.答案：C12．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若

50、·＝0，则k＝(　　)A.B.C.D．2解析：由题意可知，抛物线的焦点为(2,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，