2020_2021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质限时规范训练含解析新人教A版选修2_1.doc

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1、第二章　2.4　2.4.2基础练习1．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是(　　)A．(1,2)　　　　B．(2,1)C．(2,3)　　D．(3,2)【答案】D　【解析】将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3.∴＝＝＝2.∴所求点的坐标为(3,2)．2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　)A．2　B．4　　C．6D．8【答案】A　【解析】由已知可知抛物线的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，圆心为(3,0)，半径为4，圆心到准线的距离d＝3＋＝4

2、.解得p＝2.3.(2020年某某五校联考)直线l过抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是(　　)A.y2＝－12xB.y2＝－8xC.y2＝－6xD.y2＝－4x【答案】B　【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知

3、AB

4、＝－(x1＋x2)＋p＝8.又AB的中点到y轴的距离为2，∴－＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求抛物线的方程为y2＝－8x.故选B.4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若

5、FA

6、＝

7、2

8、FB

9、，则k的值为(　　)A．B．C．D．【答案】D　【解析】C的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)过定点P(－2,0)．过点A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由

10、FA

11、＝2

12、FB

13、，则

14、AM

15、＝2

16、BN

17、，点B为AP的中点．连接OB，则

18、OB

19、＝

20、AF

21、，∴

22、OB

23、＝

24、BF

25、.∴点B(1，2)．∴k＝＝.故选D．5．(2019年某某某某期末)已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)的准线与抛物线C2：x2＝－2py(p>0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若△FAB的面积等于1，则C1的方程是__________________．【答案】x2＝2y【解析】由题意

26、得F，不妨设A，B，∴S△FAB＝·2p·p＝1，则p＝1，即抛物线C1的方程是x2＝2y.6.(2020年某某某某质量监测)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，

27、PF

28、＝.【答案】【解析】设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，

29、BF

30、＝2，所以

31、AB

32、＝.设P(x0，y0)，则x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝，从而

33、PF

34、＝

35、PA

36、＝y0＋1＝.7．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．解：如图，由抛物线的标准方程可知焦点F(1

37、,0)，准线方程为x＝－1.由题意，直线AB的方程为y＝x－1，代入抛物线方程y2＝4x，整理得x2－6x＋1＝0.(方法一)由x2－6x＋1＝0，得x1＋x2＝6，x1·x2＝1，∴

38、AB

39、＝

40、x1－x2

41、＝×＝×＝8.(方法二)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知

42、AF

43、＝

44、AA1

45、＝x1＋1，

46、BF

47、＝

48、BB1

49、＝x2＋1，∴

50、AB

51、＝

52、AF

53、＋

54、BF

55、＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.8．设抛物线C：y2＝2px(p>0)上有两动点A，B(AB不垂直于x轴)，F为焦点且

56、AF

57、＋

58、BF

59、＝8，线段AB的垂直平分线恒过定点Q(6,0)，求抛物线C的方程．解：设

60、A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，则x1＋x2＝8－p.又

61、QA

62、＝

63、QB

64、，∴(x1－6)2＋y＝(x2－6)2＋y，即(x1＋x2－12)(x1－x2)＝2p(x2－x1)．∵x1≠x2，∴x1＋x2＝12－2p.∴12－2p＝8－p.解得p＝4.∴所求抛物线C的方程为y2＝8x.能力提升9．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)A．有且仅有一条　　B．有两条C．有无穷多条　D．不存在【答案】B　【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知

65、AB

66、＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7.又直

67、线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且

68、AB

69、min＝2p＝4，∴这样的直线有两条．故选B．10.(多选题)如图，AB为过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率存在，则(　　)A.

70、AB

71、＝x1＋x2＋pB.x1x2＝C.y1y2＝－p2D.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切【答案】ABCD　【解析】由抛物线的定义知

72、AB

73、＝

74、AF

75、＋

76、BF

77、＝

78、AA