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《2019_2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质练习（含解析）新人教A版选修》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.4.2 抛物线的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.抛物线y2=2px(p>0)上的点M(4,m)到焦点的距离为5,则m的值为( )A.2B.3C.4D.4或-4解析抛物线y2=2px的准线方程为x=-p2,由抛物线的定义有4+p2=5,p=2(负值舍去),此时y2=4x,将点M(4,m)代入抛物线方程中,求出m=±4,故选D.答案D2.若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为( )A.14,±24B.18,±24C.14,24D.18,24解析由题意知,点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离,
2、因此点P在线段OF的垂直平分线上,而F14,0,所以点P的横坐标为18,代入抛物线方程得y=±24,故点P的坐标为18,±24.答案B3.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为( )A.-43B.-1C.-34D.-12解析因为抛物线C:y2=2px的准线为x=-p2,且点A(-2,3)在准线上,所以-p2=-2,解得p=4,所以y2=8x,所以焦点F的坐标为(2,0),这时直线AF的斜率kAF=3-0-2-2=-34.答案C4.过抛物线x2=y的焦点F的直线交抛物线于不同的两点A,
3、B,则1
4、AF
5、+1
6、BF
7、的值为( )A.2B.1C.14D.4解析因为直线交抛物线于不同的两点A、B,所以直线的斜率存在,设过抛物线x2=y的焦点F的直线方程为y=kx+14,由x2=y,y=kx+14,可得y2-k2+12y+116=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=116,y1+y2=k2+12,因为抛物线的准线方程为y=-14,所以根据抛物线的定义可知
8、AF
9、=y1+14,
10、BF
11、=y2+14,所以1
12、AF
13、+1
14、BF
15、=1y1+14+1y2+14=y1+y2+12y1y2+14(y1+y2)+116=
16、4,故选D.答案D5.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( )A.43B.75C.85D.3解析设(x0,y0)为抛物线y=-x2上任意一点,所以y0=-x02,于是d=
17、4x0+3y0-8
18、5=-3x0-232-2035,所以dmin=2035=43.答案A6.已知点P在抛物线y2=4x上,当点P到点Q(2,-2)的距离与点P到此抛物线焦点的距离之和取得最小值时,点P的坐标为( )A.14,-1B.14,1C.(1,2)D.(1,-2)解析由题意,根据抛物线的方程y2=4x,求得p=2,则焦点坐标为F(
19、1,0),过点P作准线x=-1的垂线,垂足为M,则
20、PF
21、=
22、PM
23、,依题意可知当P,Q和M三点共线且点P在中间时距离和最小,如图所示,所以此时点P的纵坐标为-2,代入抛物线的方程求得x=1,即点P的坐标为(1,-2),故选D.答案D7.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=ax反射后,反射光线的反向延长线与x轴相交于点A(2,0),则抛物线的准线方程为 (提示:抛物线的光学性质:从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行). 解析由直线y=-2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点,故准线方程为x=-2.答案x=-28.直角三角形
24、的直角顶点在坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,且一直角边的方程是y=2x,斜边长是5,求此抛物线的方程.解如图所示,设直角三角形为AOB,直角顶点为O,AO边的方程为y=2x,则OB边的方程为y=-12x.由y=2x,y2=2px得点A的坐标为p2,p.由y=-12x,y2=2px,得点B的坐标为(8p,-4p).因为
25、AB
26、=5,所以(p+4p)2+p2-8p2=5,解得p=21313,故所求抛物线方程为y2=41313x.9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(1,m)到焦点F的距离为2.(1)求实
27、数p的值;(2)若直线l过C的焦点,与抛物线交于A,B两点,且
28、AB
29、=8,求直线l的方程.解(1)抛物线焦点为Fp2,0,准线方程为x=-p2,因为点P(1,m)到焦点F距离为2,所以1+p2=2,解得p=2.(2)抛物线C的焦点坐标为(1,0),当斜率不存在时,可得
30、AB
31、=4不满足题意,当斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1).联立方程y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,显然Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2,所以
32、AB
33、=x1+x2+p=2k2+4
34、k2+2=8,解得k2=1,k=±1.所以直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.能力提升1.已知抛物线x2=16y上的点P到焦点F的距离为8,则△OPF(O为坐标原点)的面积为( )A.16B.8C.4D.2解
