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《2019_2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质课件新人教A版选修.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.4.2抛物线的简单几何性质【思考】观察下列图形,思考以下问题:(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形,分析其几何图形存在哪些区别?(2)根据图形及抛物线方程y2=2px(p>0)如何确定横坐标x的范围?答案(1)抛物线与另两种曲线相比较,有明显的不同,椭圆是封闭曲线,有四个顶点,有两个焦点,有中心;双曲线虽然不是封闭曲线,但是有两支,有两个顶点,两个焦点,有中心;抛物线只有一条曲线,一个顶点,一个焦点,无中心.(2)由抛物线y2=2px(p>0)有所以x≥0.所以抛物线x的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,
2、y
3、也增大,这说明抛物线向右上
4、方和右下方无限延伸.1.抛物线的简单几何性质名师点拨1.抛物线的几何性质与椭圆、双曲线相比有较大差别,它的离心率为定值1,只有一个焦点,一个顶点、一条对称轴、一条准线,没有渐近线,没有对称中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线.2.抛物线的焦点始终在对称轴上,抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点,抛物线的准线始终与对称轴垂直,抛物线准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.【做一做1】(1)顶点在原点,对称轴为y轴,顶点到准线的距离为4的抛物线方程是()A.x2=16yB.x2=8yC.x2=±8yD.x2=±16y(2)若点(a,b)是
5、抛物线x2=2py(p>0)上的一点,则下列点一定在抛物线上的是()A.(a,-b)B.(-a,b)C.(-a,-b)D.(b,a)解析(1)由已知得=4,2p=16,所以抛物线方程为x2=±16y.(2)抛物线x2=2py关于y轴对称,所以点(a,b)关于y轴的对称点(-a,b)一定在抛物线上.答案(1)D(2)B2.直线与抛物线的位置关系设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一
6、个切点;当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点.(2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.特别提醒直线与抛物线相交时,直线与抛物线不一定有两个公共点;直线与抛物线只有一个公共点时,直线与抛物线不一定相切,也有可能是相交,这时直线与抛物线的对称轴平行.【做一做2】(1)直线y=2x-1与抛物线x2=y的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定(2)过点(1,1)与抛物线y2=x只有一个公共点的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条因为Δ=-1<0,所以
7、直线与抛物线相离.(2)因为点(1,1)在抛物线y2=x上,所以与y2=x只有一个公共点的直线有两条,其中一条为切线,一条为平行于x轴的直线.答案(1)C(2)B探究一探究二探究三当堂检测探究一由抛物线的几何性质求标准方程例1抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程.解椭圆的方程可化为=1,其短轴在x轴上,∴抛物线的对称轴为x轴,∴设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即=3,∴p=6.∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-
8、12x,其准线方程分别为x=-3或x=3.探究一探究二探究三当堂检测反思感悟抛物线各元素间的关系抛物线的焦点始终在对称轴上,顶点就是抛物线与对称轴的交点,准线始终与对称轴垂直,准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称,顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为.探究一探究二探究三当堂检测延伸探究抛物线的顶点在原点,对称轴重合于双曲线9x2-4y2=36虚轴所在的直线,其他条件不变,抛物线的方程如何?解双曲线9x2-4y2=36的虚轴为y轴,∴抛物线的对称轴为y轴,∴设抛物线的方程为x2=2py或x2=-2py(p>0).∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即=3,∴p=6.∴抛物
9、线的标准方程为x2=12y或x2=-12y.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1边长为1的等边三角形AOB,O为坐标原点,AB⊥x轴,以O为顶点且过A,B的抛物线方程是()答案C探究一探究二探究三当堂检测探究二直线与抛物线的位置关系例2已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l与C有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点?思路分析将直线方程与抛物线方程联立,消去y得到关于x的方程后,讨论根的情况,得到公共点的个数情况.探究一探究二探究三当堂检测当k≠0时,方程(*)是一个一元二次方程,且Δ=(2k-4)2-4k2
