2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质练习（含解析）新人教A版

《2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质练习（含解析）新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.4.2抛物线的简单几何性质[A　基础达标]1．以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是(　　)A．y2＝8x　　　　　　　B．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8y解析：选C．依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.2．若直线y＝2x＋与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点，则

2、AB

3、等于(　　)A．5pB．10pC．11pD．12p解析：选B．将直线方程代入抛物线方程，可得x2－4px－p2＝0.设A(x

4、1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4p，所以y1＋y2＝9p.因为直线过抛物线的焦点，所以

5、AB

6、＝y1＋y2＋p＝10p.3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为(　　)A．(2，±2)B．(1，±2)C．(1，2)D．(2，2)解析：选B．设A(x，y)，则y2＝4x，①又＝(x，y)，＝(1－x，－y)，所以·＝x－x2－y2＝－4.②由①②可解得x＝1，y＝±2.4．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　

7、)A．2B．2C．2D．2解析：选B．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.由得x2－4x＋1＝0，所以x1＋x2＝4，x1·x2＝1.所以

8、AB

9、＝＝＝＝2.5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)A．B．C．D．解析：选D．易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

10、x1＋x2＝.由抛物线的定义可得弦长

11、AB

12、＝x1＋x2＋p＝＋＝12.结合图象可得O到直线AB的距离d＝·sin30°＝，所以△OAB的面积S＝

13、AB

14、·d＝.6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若

15、AB

16、＝7，则线段AB的中点M到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义知

17、AB

18、＝

19、AF

20、＋

21、BF

22、＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是线段AB的中点M的横坐标为，因此点M

23、到抛物线准线的距离为＋1＝.答案：7．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是________．解析：设A，B在y2＝2px上，另一个顶点为O，则A，B关于x轴对称，则∠AOx＝30°，则直线OA的方程为y＝x.由得y＝2p，所以△AOB的边长为4p.答案：4p8．已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则

24、AB

25、的最小值为________．解析：设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以

26、AB

27、＝＝＝＝.所以当x＝时，

28、AB

29、取得最小值，且

30、AB

31、min＝.答案：9

32、．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且

33、AM

34、＝，

35、AF

36、＝3，求此抛物线的标准方程．解：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，设A(x0，y0)，由题知M.因为

37、AF

38、＝3，所以y0＋＝3，因为

39、AM

40、＝，所以x＋＝17，所以x＝8，代入方程x＝2py0得，8＝2p，解得p＝2或p＝4.所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.10．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)若点B(0，2)，求过

41、点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．解：(1)由抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(2，－4)，可得16＝4p，解得p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.(2)①当直线l的斜率不存在时，x＝0符合题意．②当直线l的斜率为0时，y＝2符合题意．③当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y＝kx＋2.由得ky2－8y＋16＝0.由Δ＝64－64k＝0，得k＝1，故直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0.综上直线l的方程为x＝0或y＝2或x－y＋2＝0.[B　能力提升]11．直

42、线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若

43、AB

44、＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于(　　)A．B．2C．D．4解析：选C．直线4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

45、AB

46、＝x1＋x2＋＝4，故