2020_2021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质限时规范训练含解析新人教A版选修2_1.doc

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1、第二章　2.2　2.2.2基础练习1．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则实数m的值是(　　)A．B．C．2D．4【答案】A　【解析】由题意可得2＝2×2，解得m＝.2．椭圆＋＝1和＋＝k(k>0)具有(　　)A．相同的离心率B．相同的焦点C．相同的顶点D．相同的长短轴【答案】A　【解析】将＋＝k转化为椭圆的标准方程＋＝1，可以发现与＋＝1有相同的离心率．3．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程为(　　)A．＋＝1　　B．＋＝1C

2、．＋y2＝1　D．＋＝1【答案】D　【解析】由x2＋y2－2x－15＝0，知r＝4＝2a，所以a＝2.又e＝＝，所以c＝1，则b2＝a2－c2＝3.所以椭圆的标准方程为＋＝1.4.(2020年某某某某模拟)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　)A.B.C.D.【答案】D【解析】如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，又易知F2(2,0)，所以可设P(2，y)，代入＋＝1中，解得y＝，即

3、PF2

4、＝，

5、PF1

6、＝2a－

7、P

8、F2

9、＝，故＝.故选D.5．与椭圆＋＝1具有相同的离心率且过点(2，－)的椭圆的标准方程是________________．【答案】＋＝1或y2＋x2＝1　【解析】所求椭圆的离心率为，又e2＝1－＝，分情况设标准方程＋＝1(a>b>0)，＋＝1(a>b>0)，然后把点代入，解方程组得＋＝1或＋＝1.6．设AB是椭圆Г的长轴，点C在Г上且∠CBA＝.若AB＝4，BC＝，则Г的两个焦点之间的距离为________．【答案】【解析】如图，设椭圆的标准方程为＋＝1，由题意，知2a＝4，a＝2.∵∠CBA＝，BC＝，∴点C的坐标为C(

10、－1,1)．∵点C在椭圆上，∴＋＝1.∴b2＝.∴c2＝a2－b2＝4－＝，c＝.则Γ的两个焦点之间的距离为2c＝.7．已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6且cos∠OFA＝，求椭圆的方程．解：∵椭圆的长轴长为6，cos∠OFA＝，∴点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点．∴

11、OF

12、＝c，

13、AF

14、＝＝＝a＝3，＝.∴c＝2，b2＝32－22＝5.故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.8．已知椭圆的焦点是F1(0，－1)，F2(0,1)，离心率e＝.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P在这个

15、椭圆上且

16、PF1

17、－

18、PF2

19、＝1，求∠F1PF2的余弦值．解：(1)∵c＝1，e＝＝，∴a＝2，b2＝a2－c2＝3.又椭圆中心在原点，焦点在y轴上，∴椭圆的方程为＋＝1.(2)由得

20、PF1

21、＝，

22、PF2

23、＝.又

24、F1F2

25、＝2，∴cos∠F1PF2＝＝.能力提升9．(2019年某某某某模拟)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为(　　)A．B．C．D．【答案】A　【解析】如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F

26、1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线．所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因为∠PF1F2＝30°，所以

27、PF1

28、＝2

29、PF2

30、，

31、F1F2

32、＝

33、PF2

34、，由椭圆定义得2a＝

35、PF1

36、＋

37、PF2

38、＝3

39、PF2

40、,2c＝

41、F1F2

42、＝

43、PF2

44、，则e＝＝＝.故选A．10.(2020年某某某某模拟)如图所示，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为(　　)A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】设P点坐标为(x0，y0)，由题意知a＝

45、2.∵e＝＝，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.故所求椭圆方程为＋＝1.∴－2≤x0≤2，－≤y0≤.∵F(－1,0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，∴·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.当x0＝－2时，·取得最大值4.11.已知直线2ax＋by－1＝0(a，b是实数)与圆x2＋y2＝相交于P，Q两点，且△POQ(O是坐标原点)是直角三角形，则点M(a，b)与点N(0，)之间距离的最大值是，最小值是.【答案】2＋　2－【解析】由题设知∠POQ＝90°，圆心到直线的距离为＝，故＋

46、＝1.方法一：

47、MN

48、表示椭圆＋＝1上任意一点到椭圆上焦点的距离，由椭圆的性质可知2－≤

49、MN

50、≤2＋.方法二：

51、MN

52、2＝a2＋(b－)2＝b2－2b＋4＝(b－2)2.又－2≤b≤2，所以2－≤

53、MN

54、≤2＋.12．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第