高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学案新人教A版

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1、第1课时　椭圆的简单几何性质学习目标核心素养1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点、难点)1.通过椭圆性质的学习与应用，培养学生的数学运算的核心素养.2.借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养.1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a对称性对称轴为坐标轴，对称中心

2、为原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(0，－b)，B2(0，b)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长

3、B1B2

4、＝2b，长轴长

5、A1A2

6、＝2a焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距

7、F1F2

8、＝2c2.离心率(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．(2)性质：离心率e的范围是(0，1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．思考：(1)离心率e能否用表示？(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？

9、[提示]　(1)e2＝＝＝1－，所以e＝.(2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴长的比值相同．1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是(　　)A．(－1，0)，(1，0)B．(－6，0)，(6，0)C．(－，0)，(，0)D．(0，－)，(0，)D　[椭圆方程可化为x2＋＝1，则长轴的端点坐标为(0，±)．]2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)A．5，3，0.8　B．10，6，0.8C．5，3，0.6D．10，6，0.6B　[椭圆方程可化为＋＝1，则a＝5，b＝3，c＝＝4，e

10、＝＝，故选B.]3．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于(　　)A．8B．7C．5D．4A　[由题意得m－2＞10－m且10－m＞0，于是6＜m＜10，再由(m－2)－(10－m)＝22，得m＝8.]4．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是________．＋＝1　[由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程是＋＝1.]　根据椭圆的方程研究其几何性质【例1】　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴

11、的长、焦点坐标及顶点坐标．[解]　椭圆方程可化为＋＝1.(1)当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝，∴e＝＝＝，∴m＝3，∴b＝，c＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4，2，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(0，－)，B2(0，)．(2)当m＞4时，a＝，b＝2，∴c＝，∴e＝＝＝，解得m＝，∴a＝，c＝，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2，0)，B2(2，0)．用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式．(2)确定焦点位置

12、．(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质．提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．1．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．[解]　(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6，0)，(－6，0)，离心率e＝.(2)椭圆C2：＋＝1.性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤

13、10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)；④离心率：e＝.　利用几何性质求椭圆的标准方程【例2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)求经过点M(1，2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．思路探究：(1)焦点位置不确定，分两种情况求解．(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．(3)法一：先求离心率，根据离心率

14、找到a与b的关系．再用待定系数法求解．法二：设与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)．[解]　(1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为＋＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝＝＝＝，解得a2＝27.∴椭圆的方程为＋＝1.∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.(2)设椭圆方程为＋＝1