高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学案

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1、2.1.2　椭圆的简单几何性质第1课时　椭圆的简单几何性质学习目标　1.掌握椭圆的简单几何性质，并正确地画出它的图形.2.能根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一　椭圆的范围、对称性和顶点思考　在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？答案　在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a，b)，(a，b)，(－a，－b)，(a，－b)．梳理　椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c)对称性关于x轴，

2、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)范围

3、x

4、≤a，

5、y

6、≤b

7、x

8、≤b，

9、y

10、≤a长轴、短轴长轴A1A2长为2a，短轴B1B2长为2b知识点二　椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作e＝.因为a＞c，故椭圆离心率e的取值范围为(0,1)，当e趋近于1时，椭圆越扁，当e趋近于0时，椭圆越圆．1．椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点．(　√　)2．椭圆上的点到焦

11、点的距离的最大值为a＋c.(　√　)3．椭圆的离心率e越接近于1，椭圆越圆．(　×　)4．椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长等于a.(　×　)类型一　椭圆的简单几何性质例1　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．考点　椭圆的几何性质题点　通过所给条件研究椭圆的几何性质解　椭圆方程化为标准形式为＋＝1，且e＝.(1)当0

12、,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)．(2)当m>4时，由e＝＝，解得m＝，所以椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)．反思与感悟　解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1　(1)椭圆x2＋＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为(　　)A.B.C．2D．4考点　椭圆几何性质的应用题点　由椭圆的几何特征求

13、参数答案　A解析　∵椭圆x2＋＝1的焦点在x轴上，∴a2＝1，b2＝m，则a＝1，b＝，又长轴长是短轴长的两倍，∴2＝4，即m＝.(2)对椭圆C1：＋＝1(a>b>0)和椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的几何性质的表述正确的是(　　)A．范围相同B．顶点坐标相同C．焦点坐标相同D．离心率相同考点　椭圆的几何性质题点　通过所给条件研究椭圆的几何性质答案　D解析　椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的范围是－a≤x≤a，－b≤y≤b，顶点坐标是(－a,0)，(a,0)，(0，－b)，(0，b)，焦点坐标是(－c,0)，(

14、c,0)，离心率e＝；椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的范围是－a≤y≤a，－b≤x≤b，顶点坐标是(－b,0)，(b,0)，(0，－a)，(0，a)，焦点坐标是(0，－c)，(0，c)，离心率e＝，只有离心率相同．类型二　求椭圆的离心率命题角度1　利用焦点三角形性质求椭圆的离心率例2　椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．考点　椭圆几何性质的应用题点　求椭圆离心率的值答案　－1解析　方法一　如图，∵△DF1F

15、2为正三角形，N为DF2的中点，∴F1N⊥F2N，∵

16、NF2

17、＝c，∴

18、NF1

19、＝＝＝c，由椭圆的定义可知

20、NF1

21、＋

22、NF2

23、＝2a，∴c＋c＝2a，∴e＝＝＝－1.方法二　在焦点△NF1F2中，∠NF1F2＝30°，∠NF2F1＝60°，∠F1NF2＝90°，由离心率公式和正弦定理，得e＝＝＝＝＝＝－1.反思与感悟　涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e＝求解．跟踪训练2　设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形

24、，则E的离心率为(　　)A.B.C.D.考点　椭圆几何性质的应用题点　求椭圆离心率的值答案　C解析　如图，设直线x＝交x轴于D点，因为△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则有

25、F1F2

26、＝

27、F2P

28、.因为∠PF1F2＝30°，所以∠PF2D＝60°，∠DPF2＝30°，所以

29、DF2

30、＝

31、F2P

32、＝

33、F1F2

34、，即－c＝×2c，即＝2c，即＝，所以椭圆的离心率为e＝.命题角度2　利用a，c的齐次式