《2.1.2椭圆的简单几何性质》教学案

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1、2.1.2《椭圆的简单几何性质》教学案教学目标:(1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;(2)能够根据椭圆的标准方程求焦点､顶点坐标､离心率并能根据其性质画图;(3)培养学生分析问题､解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备.教学重点:椭圆的几何性质.通过几何性质求椭圆方程并画图教学难点:椭圆离心率的概念的理解.教学方法:一､复习:1.椭圆的定义,椭圆的焦点坐标,焦距.2.椭圆的标准方程.二､讲授新课:(一)通过提出问题､分析问题､解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.[在解析几何里,是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的,我们现在利用焦点在

2、x轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.]已知椭圆的标准方程为:1.范围[我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围,就是研究椭圆在哪个区域里,只要讨论方程中x,y的范围就知道了.]问题1方程中x､y的取值范围是什么?由椭圆的标准方程可知,椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式≤1,≤1即x2≤a2,y2≤b2所以

3、x

4、≤a,

5、y

6、≤b即-a≤x≤a,-b≤y≤b这说明椭圆位于直线x=±a,y=±b所围成的矩形里.2.对称性复习关于x轴,y轴,原点对称的点的坐标之间的关系:点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y);点(x,y)关于原点对称的

7、点的坐标为(-x,-y);问题2在椭圆的标准方程中①以-y代y②以-x代x③同时以-x代x､以-y代y,你有什么发现?(1)在曲线的方程里,如果以-y代y方程不变,那么当点P(x,y)在曲线上时,它关于x的轴对称点P’(x,-y)也在曲线上,所以曲线关于x轴对称.(2)如果以-x代x方程方程不变,那么说明曲线的对称性怎样呢?[曲线关于y轴对称.](3)如果同时以-x代x､以-y代y,方程不变,这时曲线又关于什么对称呢?[曲线关于原点对称.]归纳提问:从上面三种情况看出,椭圆具有怎样的对称性?椭圆关于x轴,y轴和原点都是对称的.这时,椭圆的对称轴是什么?[坐标轴]椭圆的对称中心是什么?[原

8、点]椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.3.顶点[研究曲线的上的某些特殊点的位置,可以确定曲线的位置.要确定曲线在坐标系中的位置,常常需要求出曲线与x轴,y轴的交点坐标.]问题3怎样求曲线与x轴､y轴的交点?在椭圆的标准方程里,令x=0,得y=±b.这说明了B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.令y=0,得x=±a.这说明了A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点.因为x轴,y轴是椭圆的对称轴,所以椭圆和它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做椭圆的顶点.线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长

9、A1A2

10、=2a,

11、B1B2

12、=2b(a和b分别叫做椭

13、圆的长半轴长和短半轴长)观察图形,由椭圆的对称性可知,椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等,且等于长半轴长,即

14、B1F1

15、=

16、B1F2

17、=

18、B2F1

19、=

20、B2F2

21、=a在Rt△OB2F2中,由勾股定理有

22、OF2

23、2=

24、B2F2

25、2-

26、OB2

27、2,即c2=a2-b2这就是在前面一节里,我们令a2-c2=b2的几何意义.4.离心率定义:椭圆的焦距与长轴长的比e=,叫做椭圆的离心率.因为a>c>0,所以0

28、接近a,从而b越小,因此椭圆越扁;(2)e越接近0时,则c越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆.当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点重合于椭圆的中心,图形变成圆.当e=1时,图形变成了一条线段.[为什么?留给学生课后思考]5.例题例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长､离心率､焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.[根据刚刚学过的椭圆的几何性质知,椭圆长轴长2a,短轴长2b,该方程中的a=?b=?c=?因为题目给出的椭圆方程不是标准方程,所以必须先把它转化为标准方程,再讨论它的几何性质]解:把已知方程化为标准方程,这里a=5,b=4,所以c==3因此,椭圆

29、的长轴和短轴长分别是2a=10,2b=8离心率e==两个焦点分别是F1(-3,0),F2(3,0),四个顶点分别是A1(-5,0)A1(5,0)A1(0,-4)F1(0,4).[提问:怎样用描点法画出椭圆的图形呢?我们可以根据椭圆的对称性,先画出第一象限内的图形.]将已知方程变形为,根据在0≤x≤5的范围内算出几个点的坐标(x,y)x012345y43.93.73.22.40先描点画出椭圆的一部分,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(如