高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学案新人教A版

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1、第1课时 椭圆的简单几何性质学习目标核心素养1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形.(重点)2.根据几何条件求出曲线方程,利用曲线的方程研究它的性质,并能画出相应的曲线.(重点、难点)1.通过椭圆性质的学习与应用,培养学生的数学运算的核心素养.2.借助离心率问题的求解,提升直观想象与逻辑推理的核心素养.1.椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程+=1(a>b>0)+=1(a>b>0)范围-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a对称性对称轴为坐标轴,对称中心

2、为原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)B1(0,-b),B2(0,b)B1(-b,0),B2(b,0)轴长短轴长

3、B1B2

4、=2b,长轴长

5、A1A2

6、=2a焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距

7、F1F2

8、=2c2.离心率(1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.(2)性质:离心率e的范围是(0,1).当e越接近于1时,椭圆越扁;当e越接近于0时,椭圆就越接近于圆.思考:(1)离心率e能否用表示?(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗?

9、[提示] (1)e2===1-,所以e=.(2)不是.离心率相同的椭圆焦距与长轴长的比值相同.1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是(  )A.(-1,0),(1,0)B.(-6,0),(6,0)C.(-,0),(,0)D.(0,-),(0,)D [椭圆方程可化为x2+=1,则长轴的端点坐标为(0,±).]2.椭圆25x2+9y2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是(  )A.5,3,0.8 B.10,6,0.8C.5,3,0.6D.10,6,0.6B [椭圆方程可化为+=1,则a=5,b=3,c==4,e

10、==,故选B.]3.已知椭圆+=1,长轴在y轴上.若焦距为4,则m等于(  )A.8B.7C.5D.4A [由题意得m-2>10-m且10-m>0,于是6<m<10,再由(m-2)-(10-m)=22,得m=8.]4.椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,两顶点分别是(4,0),(0,2),则此椭圆的方程是________.+=1 [由已知a=4,b=2,椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆方程是+=1.] 根据椭圆的方程研究其几何性质【例1】 设椭圆方程mx2+4y2=4m(m>0)的离心率为,试求椭圆的长轴的长和短轴

11、的长、焦点坐标及顶点坐标.[解] 椭圆方程可化为+=1.(1)当0<m<4时,a=2,b=,c=,∴e===,∴m=3,∴b=,c=1,∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4,2,焦点坐标为F1,F2,顶点坐标为A1,A2,B1(0,-),B2(0,).(2)当m>4时,a=,b=2,∴c=,∴e===,解得m=,∴a=,c=,∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为,4,焦点坐标为F1,F2,顶点坐标为A1,A2,B1(-2,0),B2(2,0).用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置

12、.(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a,b,c.(4)写出椭圆的几何性质.提醒:长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c的两倍.1.已知椭圆C1:+=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;(2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质.[解] (1)由椭圆C1:+=1可得其长半轴长为10,短半轴长为8,焦点坐标(6,0),(-6,0),离心率e=.(2)椭圆C2:+=1.性质:①范围:-8≤x≤8,-10≤y≤

13、10;②对称性:关于x轴、y轴、原点对称;③顶点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0);④离心率:e=. 利用几何性质求椭圆的标准方程【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)椭圆过点(3,0),离心率e=;(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8;(3)求经过点M(1,2),且与椭圆+=1有相同离心率的椭圆的标准方程.思路探究:(1)焦点位置不确定,分两种情况求解.(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解.(3)法一:先求离心率,根据离心率

14、找到a与b的关系.再用待定系数法求解.法二:设与椭圆+=1有相同离心率的椭圆方程为+=k1(k1>0)或+=k2(k2>0).[解] (1)若焦点在x轴上,则a=3,∵e==,∴c=,∴b2=a2-c2=9-6=3.∴椭圆的方程为+=1.若焦点在y轴上,则b=3,∵e====,解得a2=27.∴椭圆的方程为+=1.∴所求椭圆的方程为+=1或+=1.(2)设椭圆方程为+=1

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