2014年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题参.doc

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1、2014年福建省高中数学竞赛暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2014年5月17日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）1．已知直线：，：，若，则。【答案】【解答】。2．函数（）的值域为。【答案】【解答】。由知，，。3．在三棱锥中，，，，，。则三棱锥的体积为。【答案】【解答】如图，作于，连、、。∵，，∴，，四边形为矩形。由知，四边形为正方形，且。又，因此，为正三角形，。∴。于是，。∴三

2、棱锥的体积为。4．已知、为双曲线：的左、右焦点，为双曲线上一点，且点在第一象限。若，则内切圆半径为。【答案】2【解答】设，则，。于是，，，，结合知，为直角三角形，。∴内切圆半径。5．已知集合，。若，且中恰有1个整数，则的取值范围为。【答案】【解答】。设，则的轴对称。由，知。因此，中恰有的一个整数为3。∴，解得。故，的取值范围为。6．若分数（，为正整数）化成小数为，则当取最小值时，。【答案】121【解答】由，知，，记（为正整数）。于是，，。∴。当时，，取，时，最小为101。又符合要求。故，当最小时，。

3、7．随机地投掷3粒骰子，则其中有2粒骰子出现的点数之和为7的概率为。【答案】【解答】投掷3粒骰子共有种可能。考虑。投掷三粒骰子，有两粒骰子出现1和6的可能有（种）。（分为，，，，，这6种可能，每类有6种情况。其中，，，，，，重复出现）同理，投掷三粒骰子，有两粒骰子出现2和5的可能与有两粒骰子出现3和4的可能均为30种。∴投掷3粒骰子，其中有2粒骰子出现的点数之和为7的有种可能。∴所求概率为。8．已知点，，。平面区域由所有满足（，）的点组成的区域。若区域的面积为8，则的最小值为。【答案】4【解答】如图

4、，延长至点，延长至点，使得，。四边形、、均为平行四边形。由条件知，点组成的区域为图中的阴影部分，即四边形（不含边界、）。∵，，。∴，，，，。∴四边形的面积为。∴，。由，知，当且仅当，即时，取最小值4。9．被63除的余数为。（符号表示不超过的最大整数。）【答案】56【解答】∵对任意正整数，与均不是整数，且。∴对任意正整数，。∴。10．若，，为关于的方程的三个实根，则的最小值为。【答案】【解答】依题意，有。∴。∴，。∴。。∴，，中至少有一个成立。不妨设，。∴。设，则。∴时，；时，。在上为减函数，在上为增

5、函数。∴有最小值。此时，，，或，，。二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）11．已知为递增的等比数列，且，。，数列的前项和为，求证：对一切正整数均有，。【解答】设的公比为，则。由，，知，。∴。……………………………5分∴。∵时，，……………………………10分∴时，。………………………………15分又时，。∴对一切正整数均有。……………………………20分12．已知为椭圆：的右焦点，椭圆上任意一点到点的距离与点到直线：的距离之比为。（1）求直线方程；（2）设为椭圆的左顶点，过

6、点的直线交椭圆于、两点，直线、与直线分别相交于、两点。以为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。【解答】（1），设为椭圆上任意一点，依题意有。∴。将代入，并整理得。由点为椭圆上任意一点知，方程对的均成立。∴，且。解得。∴直线的方程为。……………………5分（2）易知直线斜率不为0，设方程为。由，得。设，，则，。……………10分由，知方程为，点坐标为。同理，点坐标为。…………………15分由对称性，若定点存在，则定点在轴上。设在以为直径的圆上。则。∴。即，，或。∴以为直径的圆恒过

7、轴上两定点和。…………………20分注：若只求出或证明两定点中的一个不扣分。也可以由特殊的直线，如，得到圆与轴的交点和后，再予以证明。13．如图，在五边形中，，，，为中点，为的外心，且。延长至点，使得。（1）求证：；（2）求证：。【解答】（1）∵为中点，且，∴，点在的外接圆上。∴。…………5分（2）延长至点，使得。联结，，，，。由知，。又。∴，，且四边形为平行四边形。∴也是中点。……………10分∴四边形为平行四边形，。四边形为平行四边形，。∴。∴。………15分∴。∴。∴、、、四点共圆。∴。∴。…………

8、…20分14．已知。（1）若时，恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：对一切正整数均成立。【解答】（1）。若，则，时，。此时，在区间上为增函数。∴时，。符合要求。……………………5分若，则方程有两个异号的实根，设这两个实根为，，且。∴时，。在区间上为减函数，。∴不符合要求。∴的取值范围为。……………………10分（2）由（1）知，时，不等式恒成立。∴时，恒成立。令（），得，整理得。……………………15分∴。令，2，3，…，，得，，，…，。将上述个不等式的左右两边分别相加