2012年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟.doc

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1、2012年全国高中数学联赛预赛模拟3一、填空题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分）1、当时，函数的最大值为____________.2、在中，已知则____________.3、从集合中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为____________.4、已知∈R，方程的一个实根是（是虚部单位），则的值为_______.5、在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，一条过原点且倾斜角为锐角的直线与双曲线交于两点.若的面积为，则直线的斜率为____________.6、已知是正实数，的取值范围是____________.7、在四面体中，

2、,,该四面体的体积为__________.8、已知等差数列和等比数列满足：则____________.（）9、将27,37,47,48,55,71,75这个数排成一列，使任意连续个数的和为的倍数，则这样的排列有______种.10、三角形的周长为，三边均为整数，且，则满足条件的三元数组的个数为_____.二、解答题（本题100分，每题20分）11、设为正数，证明：12、在中，角对应的边分别为，证明：（1）（2）13、已知为实数，a>2，函数.若.（1）求实数；（2）求函数的单调区间；（3）若实数满足，求证：14、如图，半径为的圆上有一定点为圆上的动点.

3、在射线上有一动点,.线段交圆于另一点，为线段的中点.求线段长的取值范围.15、设是正整数，是方程的两个根.证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形.2012年全国高中数学联赛预赛模拟3参考解答一、填空题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分）1、182、43、4、5、6、7、8、9、14410、24二、解答题（本题100分，每题20分）11、证：对归纳，时显然成立等号；设时结论对于任意个正数成立，当时，对于任意个正数，据假设有，…5分所以只要证，…平方整理，只要证，……10分由柯西不等式……………15分即所以即成立，因此当时结论成立.故由归纳法知，

4、所证不等式成立.……………………20分12、13、已知为实数，函数.若.（1）求实数；（2）求函数的单调区间；（3）若实数满足，求证：14、如图，半径为的圆上有一定点为圆上的动点.在射线上有一动点,.线段交圆于另一点，为线段的中点.求线段长的取值范围.15、设是正整数，是方程的两个根.证明：存在边长是整数且面积为的直角三角形.