2013年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题及答案.doc

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1、2013年福建省高中数学竞赛暨2013年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2013年9月7日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）1．已知数列满足，（），则的最小值为。【答案】【解答】由，知，，，……，，。上述个等式左右两边分别相加，得。∴，又时，；时，。∴时，取最小值。2．对于函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则称函数在上的几何平均数为。已知，，则函数在上的几何平均数。【答案】【解答】∵当时，，∴在区间上为增函数，其值域为。∴根据函数几何平均数的定义知，。3．若

2、三个非零且互不相等的实数、、满足，则称、、是调和的；若满足，则称、、是等差的。已知集合，集合是集合的三元子集，即。若集合中元素、、既是调和的，又是等差的，则称集合为“好集”。则不同的“好集”的个数为。【答案】1006【解答】若、、既是调和的，又是等差的，则，，。即“好集”为形如（）的集合。由“好集”是集合的三元子集知，，，且。∴，，且。符合条件的可取1006个值。∴“好集”的个数为1006。4．已知实数，满足，且，则的最小值为。【答案】【解答】由知，。∴。设，则，。当且仅当，即，，时等号成立。∴的最小值为27。5．如图，在四面体中，，是边长为3的等边三角形。若，则四面体

3、外接球的面积为。【答案】【解答】如图，设正的中心为，四面体外接球的球心为。则，，。取中点。由知，，，。于是，。∴四面体外接球半径为2，其面积为。6．在正十边形的10个顶点中，任取4个点，则以这4个点为顶点的四边形为梯形的概率为。【答案】【解答】设正十边形为。则以为底边的梯形有、、共3个。同理分别以、、、…、、为底边的梯形各有3个。这样，合计有30个梯形。以为底边的梯形有、共2个。同理分别以、、、…、、为底边的梯形各有2个。这样，合计有20个梯形。以为底边的梯形只有1个。同理分别以、、、…、、为底边的梯形各有1个。这样，合计有10个梯形。所以，所求的概率。7．方程在区间内

4、的所有实根之和为。（符号表示不超过的最大整数）。【答案】12【解答】设，则对任意实数，。原方程化为。①若，则，（）。∴（）。结合知，，1，2，3，4，5，6。经检验，，2，4，6符合要求。②若，则，（）。∴（）。结合知，，，。经检验，，，均不符合要求。∴符合条件的为0，2，4，6，它们的和为12。8．已知为上增函数，且对任意，都有，则。【答案】10【解答】依题意，为常数。设，则，。∴，。易知方程有唯一解。∴，。9．已知集合的元素都是整数，其中最小的为1，最大的为200。且除1以外，中每一个数都等于中某两个数（可以相同）的和。则的最小值为。（符号表示集合中元素的个数）【答

5、案】10【解答】易知集合符合要求。此时，。下面说明不符合要求。假设集合，符合要求。则，，，，，，。由于，因此，，。同理，由，知，，。由，知，，。由，知，，与为整数矛盾。∴不符合要求，。同理，也不符合要求。因此，的最小值为10。10．已知函数，则函数在区间上的最大值为。【答案】【解答】若为有理数，且。设（，），由知，，。当时，不存在；当时，存在唯一的，此时，。当时，设，其中，且，此时。∵，∴若为有理数，则时，取最大值。又为无理数，且时，。综合以上可知，在区间上的最大值为。二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）11．将各项均为正数的数列排成如下

6、所示的三角形数阵（第行有个数，同一行中，下标小的数排在左边）。表示数阵中，第行、第1列的数。已知数列为等比数列，且从第3行开始，各行均构成公差为的等差数列（第3行的3个数构成公差为的等差数列；第4行的4个数构成公差为的等差数列，……），，，。（1）求数阵中第行、第列的数（用、表示）。（2）求的值；（3）2013是否在该数阵中？并说明理由。……………【解答】（1）设的公比为。依题意，为数阵中第5行、第2列的数；为数阵中第6行、第3列的数。∴，，，。……………5分∴，，。∴。…………………10分（2）由，，知，为数阵中第63行，第60列的数。∴。…………………15分（3）假

7、设2013为数阵中第行、第列的数。∵第行中，最小的数为，最大的数为，∴……………①。由于时，，因此不符合①；由于时，，因此不符合①；∴上述不等式①无正整数解。∴2013不在该数阵中。…………………20分12．已知、为抛物线：上的两个动点，点在第一象限，点在第四象限。、分别过点、且与抛物线相切，为、的交点。（1）若直线过抛物线的焦点，求证：动点在一条定直线上，并求此直线方程；（2）设、为直线、与直线的交点，求面积的最小值。【解答】（1）设，（）。易知斜率存在，设为，则方程为。由得，……………①由直线与抛物线相切，知。于是，，方程为。同理，方