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《2015年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题及参考答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷(考试时间：2015年5月24日上午9:00-11：30,满分160分)填空题(共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上)1.设集合A=2.已知/(•¥)=•¥+§(%)，其中g(X)是定义在/?上，最小正周期为2的函数。若/(X)在区间[2,4)上的最大值为1，则/(x)在区间fl0，12)上的最大值为。223.尸、F,为椭圆C:^+^y=l(a>
2、b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P，使cctr得丄PF2,则椭圆离心率e的取值范围为o4.已知实数％,y，z满足x2+2y2+3z2=24，则x+2y+3z的最小值为。5.已知函数/U)=x2cos专，数列｛“"｝巾，atl=f(n)+/(n+1)(zigN*),则数列｛｝的前100项之和S100=◊B6.如图，在四而体AfiCO中，DA=DB=DC=2,DA丄DB，DA丄DC,且与平面ABC所成角的余弦值为I。则该四面体外接球半径/?=。37.在复平面内，复数z,、z2、&的对应点分別为Z,、Z2、Z3。若
3、21
4、=
5、七
6、=7^,uuuLuum
7、OZ,OZ2=0,
8、2,+22-231=1,WiJ
9、Z3
10、的取值范围是。8.匕知函数/(x)=Z(x-t^v)恰有叫个极值点X,，x2(X,11、/O)=0｝=｛x
12、/(/(x))=0｝矣夕，则m+z?的取值拖围为o1.若sin!+sin¥+L+sin—=—tan—,则止整数zi的最小值为。99929二、解答题(共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程)求函数j，=2x+a/4x2-8x+3的最小值。12.已知过点P(0，l)斜率为々的直线/交双曲线C:=l于A、BW点。
13、(1)求々的取值范围；(2)若厂2为双曲线C的右焦点，且
14、AF2
15、+
16、
17、=6，求/:的值。13.如图，/、£＞分别为AABC的内心、旁心，BC与
18、g/、相切，G为AZ)与BC的交点。切点分别为£、Z7,A(1)求证:AI_GE~AD~~GF(2)若M为中点，求证：A£//£W。(旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角形一个内角的平分线和其它两个内角的外角平分线的交点。)D14.在坐标平血内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形。求以点7(2015,7x2015)为内心且直角顶点在华.标原点O的整点直角三角形OAB的个数。15.
19、若对任意的正整数m，集合｛m，m+l，m+2，L，m+99｝的任意/?(z?23)元了•集中，总宥3个元素两两互素，求〃的最小值。2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案(考试时间：2015年5月24日上午9:00-11：30,满分160分)一、填空题(共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上)1.设集合A=
20、又Z1，从集合中随机抽取一个元素x，记卜x2，则随机变量的数学期望E^=.【答案】5【解答】A={-4,-3,-2,-1,0,1,2},随机变量f的取值为0,1,4,9,16。易
21、得，的概率分布列为014916P122117777712211£^Oxrix?+4x-+9xri6xr502.已知/(x)二x+^x)，其中gU)是定义在/?上，最小正周期为2的函数。若/(%)在区间f2,4)上的最大值为1,则/(%)在区间flO,12)上的最大值为。【答案】9【解答】依题意，有f(x+2)=(x+2)+g(x+2)=x+(x)+2=f(x)+20•//(%)在区间［2,4)上的最大值为1,/./(%)在区间［4,6)上的最大值为3,在区间［6,8)上的最大值为5，在E间［8,10)上的最大值为7，在区间［10,12)上的最大值为9。2
22、23.月、厂2为椭圆C:^+-^=1(a〉b〉Q)的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P，使得尸丄/^2,则椭岡离心率e的取值范围为o【答案】［^,1^【解答】设A为椭岡C的上顶点，依题意有ZfAF2290°。cr2i:.ZF,AO>45°,->loc2>a2-c2,——-12,
23、当且仅当=即又=y=z=-2时等号成立。^1V2V3%+2y+3z的最小值为-1
