2016年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷及参考答案

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1、2016年福建省高中数学竞赛暨2016年全国高中数学联赛C福建省赛区〉预赛试卷参考答案（考试时间：2016年5月22日上午9：00-11：30,满分160分〉一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上〉JTTT1.若函数/（x）=3cos（6Zr+—）-sin（d?x——）（a）>0）的最小正周期为兀，则/（兀）在区间63罔上的最大值为【答案】2^3【解答1/(%)=3COS(69X+彳)-sin(69x-彳)=3cos(69%+彳)-Sin(QX+彳-彳)JTJTJT3cos(ex+—)+c

2、os(qx+—)二4cos(69x+—),且/(x)的最小正周期为龙。666717t7t.7龙6T(0=2,/(x)=4cos(2x+—)o又“0,—时，—<2%+—<6266・・・2x+-=-,即x=0时，f（x）在区间0,-上取最大值2希。6622.己矢口集合A二｛兀x2-3x+2<0],B=10时，由-ax+3d+lx-3<0,兀-（3+丄）得—^x或兀>3+—

3、>oj茜足AuB。aX0时，由"+%+1<0,x-3X—(3—)得<0,B=x3+—-~.d的取值范围为(-丄,+oo)。223.函数f(x)=x2lnx+x2-2零点的个数为o【答案】1【解答】T/z(x)=2xlnx+x+2x=x(21n%+3)。_3_30e?日寸,fx)>0。_33・•・/(兀)在区间(0,02)上为减函数，在区间(e2,+8)上为增函数。_231乂Ovxve2时，inx+1v-二+1二——<0,/(x)=x2(lnx+

4、l)-2<0；_2Qf(e2)二盯3(一二+])一2<0,f(e)=2e2-2>0.・•・函数/(兀)的零点个数为lo或：作图考察函数y=lnx与尸二-1图像交点的个数。4・如图，在正方体ABCD-BXCXDX中，二面角B-人(？一2)的大小为,【答案】120°【解答】设正方体棱长为1。作BE丄£C于E,连结DE。由正方体的性质知，△ADC£ZV11BC。・・・DE丄AC,ABED为二面角B—AC—D的平面角，KBE=DE=^,BD=®V322-+--2]cosABED二3m_=―oV2V22V3a/3・・・二面角B-A.C

5、-D的大小为120%或：设AC、3D交于点O,由ZBEO=60°,得ZB£D=120°o5.在空间四边形ABCD中，已知AB=2,BC=3,CD=4,DA=5,则uuuuuuACBD=o【答案】7UUUUUUUUUUUIUUUUUUU1UUIUAC【解答】以ABfBC,CD为基底向量。贝ij=AB+BC+CD。uuu7uunuumuinnAD=(AB+BC+CD)2,uum2uuu2uiin)uum〉uunuumuunuumuuduim即AD=AB+BC+CD+2AB•BC+2AB•CD+2BC•CD。uuuutiuuuuuu

6、uuuuuum・・・25=4+9+16+2(ABBC+AB・CD+BCCD),UUUUUUUUUUUIUUUUUUIU・・・ABBC+AB・CD+BC・CD=—2。UlUUUUIUUllUUllUUUUUUU1・・・ACBD=(AB+BC)(BC+CD)nullUllUUUUUUUlUUUUUUlUUU1UUtl=AB・BC+AB・CD+BCCD+BC・BC=—2+9=・r26・已知直线/过椭圆C：—+/=1的左焦点F且交椭圆C于A、B两点。O为坐标原点，若04丄OB,则点O到直线AB的距离为-【答案】尊3【解答】F（-1,0

7、）。显然无轴不符合要求。设直线AB方程为x=ty-{.x=（y-l由%2.，得（尸+2"2_2巧-1=0①—+y2=12，2/_1①的判别式大于0。设A（X］,yJ,B（x2,y2）,则〉［+力二一，儿为=二一。tILtIL由04丄OB,得_（/2十］）2/兀內+〉‘*2=（勿一1）（®一1）+必力=（尸+i）y』2+>2）+1=z2+2~rx?^2+1"00-(r2+l)-2r2+r2+2=0,尸=*。点O到直线AB的距离为Vf37.已知zwC,若关于x的方程x2-2zx+—+z=0(i为虚数单位)有实数根，则复数z的4模

8、

9、z

10、的最小值为o【答案】1【解答】设z=a+bi(a,beR),x=x0是方程x2-2zx+-

11、+z=0的一个实数根。则Xg一2(a+bi)xQ+扌+i=0。3.总-2处°+二=0LLL①••f4o-2处+1=0LLL②°由②得，兀0=丄，代入①，得一^~一2d•丄=0,3