资源描述：
《2005年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、2005年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷考试时间：2005年9月11日上午8：00～10：30一、选择题：每题6分，满分36分1、设函数的定义域为R，且对任意实数，，则的最大值为（）A0BCD12、实数列定义为则的值为（）A3B-4C3或-4D83、正四面体ABCD的棱长为1，E是△ABC内一点，点E到边AB,BC,CA的距离之和为x，点E到平面DAB,DBC,DCA的距离之和为y，则等于（）A1BCD4、数列满足如下条件：对于比其余99个数的和小k，已知，m，n是互质的正整数，则m+n等于（）A50B100C1
2、65D1735、若，则等于（）ABCD16、P为椭圆在第一象限上的动点，过点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，则的最小值为（）ABCD二、填空题：每小题9分，满分54分7、实数满足则＝.8、设S是集合｛1，2，…，15｝的一个非空子集，若正整数n满足：，则称n是子集S的模范数，这里
3、S
4、表示集合S中元素的个数。对集合｛1，2，…，15｝的所有非空子集S，模范数的个数之和为.9、对于，当取得最大值时，x＝.10、函数满足：对任意实数x,y，都有，则.11、正四面体AB
5、CD的体积为1，O为为其中心.正四面体与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为.12、在双曲线xy＝1上，横坐标为的点为，横坐标为的点为.记坐标为（1，1）的点为M，是三角形的外心，则.三、解答题：每小题20分，满分60分13、如图，已知三角形ABC的内心为I，AC≠BC，内切圆与边AB,BC,CA分别相切于点D,E,F，，连结CD与内切圆的另一个交点为M，过M的切线交AB的延长线于点G.求证：（1）∽；（2）14、设是正整数，关于x的一元二次方程的两实数根的绝对值均小于，求的最小值.15
6、、设集合A和B都是由正整数组成的集合，
7、A
8、＝10，
9、B
10、＝9，并且集合A满足如下条件：若，则.令求证：
11、A+B
12、≥50.（
13、X
14、表示集合X的元素个数）2005年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷参考答案1、D由，知，所以，当时，等号成立.故的最大值为1.2、A设，则，故，（-4舍去）所以.3、D点E到边AB,BC,CA的距离之和就是△ABC的高，即为，故，又，即，这里的h是正四面体的高，点E到平面DAB,DBC,DCA的距离，于是，，所以，，于是4、D设，则，对k求和得，所以，于是，故m+n＝1735、B把两个式子
15、分别平方相加得把两个式子相乘得所以，即6、C设，则直线AB的方程为，故，，当，即点P为时等号成立。7、14把三个式子相加得：即得8、只要找出，对每个n有多少集合，使得n是模范数，再关于n求和即可.若n是S的一个模范数，S含有k个元素，则又.S的其他个元素有种取法，故n为模范数时，共有个.当n＝1，2，…，13，模范数的总数为，故所以对集合｛1，2，…，15｝的所有非空子集S，模范数的个数之和为9、我们考虑的最大值，这里是正整数，满足，后者即，代入得，取，由均值不等式得：，当且仅当时等号成立.所以，的最大值是.10、
16、39取x＝y＝0，得若，令y＝0，可得，代入原式知不符合；若，解得，代入检验知满足题意，所以11、若将A-BCD放在一个水平面上，易知其中心到点A的距离是A到底面距离的，所以反射的对称面是距离A为A到底面距离的水平面.因此，它割A点所在的小正四面体是原正四面体缩小.同样，对B、C、D三点处所切割的正四面体也是原正四面体的，当我们在原正四面体中切割掉这四个小正四面体后，即得到两个正四面体的公共部分体积为。.12、易得，所以故△是以为底边的等腰三角形，且底边所在直线的斜率为－1.因为M在直线y＝x上，所以底边的中垂线方
17、程为y＝x，由此因为的中点为，，所以外心在直线上，由此得于是.13、证明（1）在直角三角形CEI中，由射影定理可得：所以，又，故△CDI∽△DSI.………………………………10分（2）因为D、I、M、G四点共圆，并且由（1）得∠ISD＝∠IDC＝∠IMD，所以点S在四边形DIMG的外接圆上，故∠GSI＝∠GMI＝90°，即GS⊥CI………………………20分14、解：设方程的两实数实数根为x1，x2，由韦达定理知，x1，x2均为负数，由，得，所以，得故.又，所以，……………………………5分（1）当b＝7时，由及得，或
18、12，c＝1，但方程及的根不满足条件.………………………………10分（2）当b＝8时，由及得，，故由，得，易知为增函数，而，故，此时，而方程的两根满足条件。………………………………15分（3）当时，，于是，若，则只能，此时方程的根不满足条件.终上所述，的最小值是25.15.证明：考虑一般的情形，设，对任意的，设有种方式表示为的形式，其中，即显然有………………
