2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷

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1、2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷（考试时间：2010年9月4日9:00—11:30）二题号一总分9101112得分评卷人复核人注意：1．本试卷共12小题，满分150分；2．用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；3．书写不要超过装订线；4．不能使用计算器。一、填空题（每小题8分，共64分）21.函数f(x)=2x−4x−x的值域是。x2.函数y=的图像与y=e的图像关于直线x+y=1对称。3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于。22xy4.设椭圆+=1与双曲线xy=1相切，则t=。t+1t−15.设z是复数，则

2、z−1

3、+

4、z−i

5、+

6、z+1

7、的最小值等于。

8、326.设a,b,c是实数，若方程x+ax+bx+c=0的三个根构成公差1的等差数列，则a,b,c应满足的充分必要条件是。7.设O是ΔABC的内心，AB=5，AC=6，BC=7，OP=xOA+yOB+zOC，0≤x,y,z≤1。动点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于。8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是。二、解答题（共86分）29.（20分）设数列{a}满足a=0，a=，n≥2。求a的通项公式。n1nn1+an−1210.（22分）求最小正整数n使得n+n+24可被2010整除。11.（22分）已知ΔABC的三边长度各不相等，D,E,F分别是∠

9、A,∠B,∠C的角平分线与边BC,CA,AB的垂直平分线的交点。求证：ΔABC的面积小于ΔDEF的面积。12.（22分）桌上放有n根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴。甲先取，第一次可取走至多n−1根火柴。此后每人每次至少取走一根火柴，但是不超过对方刚才取走火柴数目的两倍。取得最后一根火柴者获胜。问：当n=100时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由。参考答案及评分标准一、填空题（每小题8分，共64分）11．[4−25,8]2．1−ln(1−x)3．−4．5323aaa65．1+36．b=−1，c=−7．1268．32737二、解答题（共86分）2+a1−an−1n−19．

10、由a+2=和a−1=，(10分)nn1+a1+an−1n−1nan+2an−1+2n(−2)+2得=(−2)=L=(−2)，于是a=。(20分)nnan−1an−1−1(−2)−12⎧n+n+24≡0mod22⎪⎧n+n≡0mod322⎪n+n+24≡0mod3⎪210．2010n+n+24⇔⎨⇔⎨n+n≡1mod5(10分)2⎪n+n+24≡0mod5⎪2n+n≡43mod67⎪2⎩⎩n+n+24≡0mod672n+n≡0mod3⇔n≡0或2mod32n+n≡1mod5⇔n≡2mod52n+n≡43mod67⇔n≡10或56mod67所求最小正整数n=77(22分)

11、11．由题设可证A,B,C,D,E,F六点共圆。(10分)S=1(sin2A+sin2B+sin2C)⎧ΔABC2不妨设圆半径1，则有⎨。由于S=1(sinA+sinB+sinC)⎩ΔDEF2sin2A+sin2B+sin2C=1(sin2A+sin2B)+1(sin2B+sin2C)+1(sin2C+sin2A)222=sin(A+B)cos(A−B)+sin(B+C)cos(B−C)+sin(C+A)cos(C−A)

12、略的初始火柴数目n从小到大排序为n,n,L。容易发12现其前4项分别为2,3,5,8。下面我们用数学归纳法证明：(1){n}满足n=n+n；ii+1ii−1(2)当n=n时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙此时所取的火柴数目≤n；ii−1(3)当n2k根火柴，乙无法获胜。iiò当n/2≤k

13、目≤n。剩余n>2n根火柴，乙无法获胜。i−2ii−2ò当k=n时，设甲第一次时取走m根火柴。若m≥k，则乙可取走所有剩下的火i−1柴。若m2n根火柴，甲无法获胜。i−2ii−2ò综上可知，n=n+n。i+1ii−1因为100不在数列{n}中，所以当n=100时甲有获胜策略。(22分)i