无穷小量与无穷大量.doc

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1、§3.5　无穷小量与无穷大量教学目标：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．教学内容：无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小，无穷大．教学要求：掌握无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念；能够写出无穷小量与无穷大量的分析定义，并用分析定义证明无穷小量与无穷大量．在计算及证明中，熟练使用“”与“”．教学重点：无穷小量与无穷大量以及它们的阶数的概念．教学难点：熟练使用“”与“”进行运算．教学过程：引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：.我们称之为无穷小数列.通过前面几节对函数极限的学习.我们可以发现，在一

2、般函数极限中也有类似的情形.例如：　，我们给这类函数一个名称——“无穷小量”.既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量.一、无穷小量(一)定义定义1设在某内有定义.若，则称为当时的无穷小量.记作：.类似地可以定义当时的无穷小量.例都是当时的无穷小量；是当时的无穷小量；是时的无穷小量.(二)无穷小量的性质1、先引进以下概念定义2（有界量）若函数在某内有界，则称为当时的有界量，记作：.例如：是当时的有界量，即；是当时的有界量，即.注

3、任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若，则.区别“有界量”与“有界函数”.一般在谈到函数是有界函数或函数是有界的，意味着存在Ｍ>0，在定义域内每一点，都有.这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界.2、性质性质1　两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.性质2　无穷小量与有界是的乘积为无穷小量.性质3　是当时的无穷小量.例如：，.问题两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑：.引申同为无穷小量，，而不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的.这个“级别”表现在收敛于

4、0（或趋近于0）的速度有快不慢.就上述例子而言，这个“级别”的标志是的“指数”，当时，的指数越大，它接近于0的速度越快.这样看来，当时，的收敛速度快于的收敛速度.所以其变化结果以为主.此时称是（当时）的高阶无穷小量，或称时，是的低阶无穷小量.一般地，有下面定义：3、穷小量阶的比较（主要对叙述，对其它类似）设当时，均为无穷小量.（1）若，则称时为的高阶无穷小量，或称为的低阶无穷小量，记作.即.例，.问题，此时是可说？引申与上述记法：相对应有如下记法：，这是什么意思？含义如下：若无穷小量与满足关系式，则记作.例如，1），.2）若.注等式，等与通常等式的

5、含义不同的.这里的等式左边是一个函数，右边是一个函数类（一类函数），而中间的“＝”叫的含义是“”.例如：，其中，而上述等式表示函数.为方便起见，记作（2）若存在正数Ｋ和Ｌ，使得在某上有，则称与为当时的同阶无穷小量.但需要注意：不存在，并不意味着与不全为同阶无穷小量.如，不存在.但，所以与为当时的同阶无穷小量.由上述记号可知：若与是当时的同阶无穷小量，则一定有：.（3）若，则称与是当时的等价无穷小量，记作.例如：1）;2）.对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限的“等价量法”.定理设函数、、在内有定义，且有.(

6、1)若，则；(2)若，则例1求.解，，故.例2.例3.解时，，，∽（），∽（），故原式例4.解原式.千万注意：不是因子不能用等价无穷小量替换.如，显然不能用替最后给出一个很有用的表达式：即，即即或，如，.此时称为的主部.杂例已知，求、.解原式，故必有，从而.注在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代,而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代.(三)小结以上讨论了无穷小量，无穷小量性质.无穷小量比较.两个无穷小量可比较的特征——其商是有界量.但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的

7、比较.例如.二、无穷大量(一)问题“无穷小量是以0为极限的函数”.能否仿此说“无穷大量是以为极限的函数”.答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲Ａ为函数当时的极限，意味着Ａ是一个确定的数，而“”不具有这种属性，它仅仅是一个记号.所以不能简单地讲“无穷大量是以为极限的函数”.但是，确实存在着这样的函数，当时，与无限接近.例如：1），当时，与越来越接近，而且只要与0充分接近，就会无限增大；2），当时，也具有上述特性.在分析中把这类函数称为当时有非正常极限.其精确定义如下：(二)非正常极限定义2（非正常极限）　设函数在某内有定义，若对任给的Ｍ>

8、0，存在，当时有，则称函数当时有非正常极限，记作.注1）若“”换成“”，则称当时有非正常极限；若换成则称当时有非正常极限，