2020_2021学年新教材高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.3函数的奇偶性学案含解析新人教B版必修第一册.doc

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1、3．1.3　函数的奇偶性内　容　标　准学　科　素　养1.结合具体函数，了解奇偶性的含义．数学抽象直观想象逻辑推理2.学会运用函数的图像理解函数性质．3.会利用函数奇偶性解决一些问题.授课提示：对应学生用书第50页[教材提炼]知识点　函数的奇偶性1．偶函数设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则这个函数叫做偶函数．偶函数图像关于y轴对称．2．奇函数设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．奇函数图像关于原点对称．[自

2、主检测]1．下列函数为奇函数的是(　　)A．y＝

3、x

4、　　　　　　　　B．y＝3－xC．y＝D．y＝－x2＋14答案：C2．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(　　)A．－2B．2C．0D．不能确定答案：B3．若点(－1,3)在奇函数y＝f(x)的图像上，则f(1)等于(　　)A．0B．－1C．3D．－3答案：D4．已知f(x)是偶函数，且f(2)＝2，则f(2)＋f(－2)＝________.答案：4授课提示：对应学生用书第50页探究一　函数奇偶性的判断[例1]　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x4＋2x2；(2)

5、f(x)＝x3＋；(3)f(x)＝＋；(4)f(x)＝(5)f(x)＝.[解析]　(1)∵f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)4＋2(－x)2＝x4＋2x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，它关于原点对称，又f(－x)＝(－x)3＋＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)∵f(x)的定义域为{－1,1}，是两个具体数，但它关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)＝＋既是奇函数，又是偶函数．(4)函数f(x)的定义域是(－∞，0)

6、∪(0，＋∞)，关于原点对称．①当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)．②当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)．由①②知，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，都有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(5)由题设得：∴函数f(x)定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且x＋2>0，∴

7、x＋2

8、＝x＋2，∴f(x)＝＝＝，∴f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇

9、函数．函数奇偶性的判定方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的对称区域，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的对称区域，再判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(x)±f(－x)是否等于零，或判断是否等于±1等．用定义判断函数奇偶性的一般步骤：①求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称．②用－x代x，验证是否有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x

10、)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，则f(x)为非奇非偶函数．(2)图像法：奇(偶)函数的等价条件是它的图像关于原点(y轴)对称．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝

11、x＋1

12、＋

13、x－1

14、；(3)f(x)＝.解析：(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝

15、－x＋1

16、＋

17、－x－1

18、＝

19、x－1

20、＋

21、x＋1

22、＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－

23、∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．探究二　已知函数奇偶性求函数解析式[例2]　(1)已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，求f(x)在R上的解析式．[解析]　设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x.又y＝f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2＋2x(x<0)．∴f(x)＝(2)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式．[解析]　∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f

24、(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝－x(2＋x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(x＋2)．故f(x)＝(3)设函数