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《2020_2021学年新教材高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.2第1课时函数的单调性与证明学案含解析新人教B版必修第一册.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3．1.2 函数的单调性第1课时 函数的单调性与证明内 容 标 准学 科 素 养1.利用函数图像，直观地观察函数的单调性．直观想象数学抽象逻辑推理2.利用特殊函数，理解函数单调性及几何意义．3.会根据函数的单调性定义，判断、证明单调性.授课提示：对应学生用书第45页[教材提炼]知识点一 增函数与减函数的定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D.(1)如果对任意x1，x2∈I，当x1＞x2，都有f(x1)＞f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)．(2)如果对任意x1，x2∈I，当x
2、1＞x2，都有f(x1)＜f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)．知识点二 函数的单调区间当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间．知识点三 函数的平均变化率1．一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则：(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是＞0在I上恒成立；(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是＜0在I上恒成立．2．一般地，当x1≠x2时，称＝为函数y＝f(x)
3、在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．[自主检测]1．如图所示的函数中在其定义域上是增函数的个数是( )A．0 B．1C．2D．4解析：只有①是增函数．答案：B2．对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1＜x2，使f(x1)＜f(x2)成立，则y＝f(x)( )A．一定是增函数B．一定是减函数C．可能是常数函数D．单调性不能确定解析：根据函数单调性概念可知，y＝f(x)的单调性不确定．答案：D3．下列函数中，在区间(0,2)上为增
4、函数的是( )A．y＝3－xB．y＝x2＋1C．y＝D．y＝－
5、x
6、答案：B4．函数y＝
7、x－1
8、的增区间为________．答案：[1，＋∞)授课提示：对应学生用书第45页探究一 由函数图像求函数的单调区间[例1] 作出函数y＝－x2＋2
9、x
10、＋3的图像并指出它的单调区间．[解析] 根据绝对值的意义，y＝－x2＋2
11、x
12、＋3＝＝.作出函数图像如图所示，根据图像可知，函数在区间(－∞，－1]，[0,1]上是增函数；函数在区间(－1,0)，(1，＋∞)上是减函数．一般来说，求函数单调区间可以根据函数的图像．在某区间内
13、，由左至右图像是上升的，该区间就是函数的单调增区间；某区间内，由左到右图像是下降的，该区间就是函数的单调减区间．将本例函数改为f(x)＝
14、x2＋2x－3
15、，求f(x)的单调区间．解析：令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.先作出g(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴上方就得到f(x)＝
16、x2＋2x－3
17、的图像，如图所示．由图像易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．探究二 函数单调性的证明或判断[例2] 根据定义证明y
18、＝x＋在(0,1)上是单调递减．[证明] ∀x1，x2∈(0,1)，且x1＜x2，有y1－y2＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1x2－1)．由于0＜x1＜1,0＜x2＜1.∴0＜x1x2＜1.∴x1x2－1＜0.又由x1＜x2，∴x1－x2＜0，∴(x1x2－1)＞0，∴y1＞y2，∴函数y＝x＋在(0,1)上是减函数．证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图像法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：探究三 利用单调性求参数[例3] 已知函数f(x)＝ax2－x＋1在
19、(－∞，2)上单调递减，求a的取值范围．[解析] 当a＝0时，f(x)＝－x＋1在(－∞，2)上单调递减，符合题意；当a≠0时，要使f(x)在(－∞，2)上单调递减，则解得0＜a≤.综上，a的取值范围为.根据函数的单调性求参数取值范围的方法(1)利用单调性的定义：设单调区间内x1＜x2，由f(x1)－f(x2)＜0(或f(x1)－f(x2)＞0)恒成立求参数范围．(2)利用具体函数本身所具有的特征：如二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数．需注意：若一函数在区间[a，b]上是单调的
20、，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．若函数f(x)＝在R上为增函数，则实数b的取值范围是________．解析：要使此分段函数为R上的增函数，必须使函数g(x)＝(2b－1)x＋b－1在(0，＋∞)上是增函数；函数h(x)＝－x2＋(2－b)x在(－∞，0]上是增函数，且满足h(0)≤g(0)，根据一次函数和二次函数的单调性可得∴1≤b≤
