梯形中常见辅助线的作法.doc

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1、梯形中常见辅助线的作法. 【知识要点：】梯形是一种特殊的四边形，在解决有关梯形的问题时，常常需要借助辅助线，将其分割、拼接成三角形、矩形或平行四边形等问题来解决.常见的几种辅助线的作法如下：作法图形平移一腰，转化为三角形、平行四边形作高，转化为两直角三角形和一矩形延长两腰，转化为三角形平移一对角线，转化为三角形、平行四边形连接一顶点与一腰的中点，构造全等三角形 【典型例题】例1.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，DC＝6，∠B＝45°，BC＝10，求梯形上底AD的长.例2.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15

2、，AB＝16，BC＝17.求CD的长.例3.如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，BD＝6cm.求梯形ABCD的面积.例4.如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论. 例5.如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，BC＝3，CD＝1.E是AD的中点，求证：CE⊥BE. 【方法总结】在解决梯形的有关问题时常用的思想是转化的思想，是通过作辅助线把梯形分割、拼接成我们所熟悉的三角形（尤其是Rt△），矩形、平行四边形，再利用三角形的全等、直角三角形的勾股定理以及

3、平行四边形和矩形的性质来解决问题. 【巩固练习：】1.若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为__________cm.2.如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形的周长为（）A.19B.20C.21D.223.如图所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，则梯形ABCD的面积为（）A.130B.140C.150D.1604.如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的长.5.如图所示，

4、已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.6.如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长.7.如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的长.8.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若E是AB的中点，且AD＋BC＝CD，则DE与CE有何位置关系？（2）E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？  练习答案：1.242.D3.C4.过D作DE∥AC交BC延长线于E，则四边形ACED为平行四边形，∴DE＝

5、AC，CE＝AD.∵梯形ABCD为等腰梯形，∴AC＝BD，∴BD＝ED，∵BD⊥AC，∴BD⊥DE.在Rt△BDE中，BD2＋DE2＝BE2，即2BD2＝1002，BD＝50.5.过D作DE∥AB交BC于E.则四边形ABED是平行四边形.∴BE＝AD＝15cm，AB＝DE.∴EC＝49－15＝34cm.∵AB＝CD，∴CD＝DE.又∵∠C＝60°，∴△CDE是等边三角形.∴CD＝EC＝34cm.6.过D点作DF∥AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形，∴AC＝DF，AD＝CF，∵BD⊥AC，∴BD⊥DF.∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AC＝

6、DB.∴BD＝FD，∵DE⊥BC，∴BE＝EF，∴DE＝BE＝EF＝BF＝5.7.分别延长AD、BC相交于点E.∵AB∥CD，∴∠1＝∠B.∵∠ADC＝∠E＋∠1，∴∠ADC＝∠E＋∠B.∵∠ADC＝2∠B，∴∠E＝∠B，∠1＝∠E，∴AE＝AB，DE＝DC.∴AE＝AD＋DE＝AD＋DC＝8.∴AB＝AE＝8.（或过C作CE∥AD交AB于E，证明CE＝BE＝AD.）8.（1）提示：DE⊥CE，延长DE交CB延长线于F，证明△AED≌△BEF.得AD＝BF，DE＝EF，∵CD＝AD＋BC，∴CD＝CB，∴CE⊥DE.（2）DE⊥CE.∵AD∥BC，∴∠AD

7、C＋∠BCD＝180°，∵∠EDC＝∠ADC，∠ECD＝∠BCD.∴∠EDC＋∠ECD＝×180°＝90°，∴∠DEC＝90°，即DE⊥CE.