梯形问题常见辅助线的作法

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1、梯形问题常见辅助线的作法梯形是在学习了三角形和平行四边形后学习的又一种特殊的四边形，因此，利用化归的思想方法，我们可利用平移、旋转等作出辅助线，通过割补、拼接，把梯形的问题转化为我们已经熟悉和解决了的三角形和平行四边形问题，从而用三角形和平行四边形的有关知识解决梯形问题。下面通过例题具体说明梯形问题常见的辅助线的做法及其应用。一、平移梯形一腰，将梯形转化成平行四边形。即过梯形上底或下底的一个端点作一腰的平行线，将梯形分割成三角形和平行四边形，并出现上下底的差，利用这些条件解决所给的问题。AD例1、如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，BD⊥DC，且

2、BD平分∠ABC，若梯形的周长为20cm，求此梯形的中位线长。解：如图1，过点D作DE∥AB交BC于E，由已知AD∥BC，AB=DC，BD平分∠ABC，易得：四边形ABED为菱形，从而有AD=BE=DE=DC，∵BD⊥DC，∴EC=BE=AD=AB=DC，又∵梯形的周长为20cm，∴AD=4cm，BC=8cmBCE图11∴梯形ABCD的中位线长为（4+8）=6cm。二、平移梯形的一条对角线，将梯形转化成平行四边形的直角三角形。即过梯形上底或下底的一个端点作一条对角线的平行线，将梯形割补成与之等积的三角形，并出现上下底的和，利用这些条件解决所给的问题。AD例2

3、、如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=5cm，BD=12cm，则该梯形中位线的长等于cm。BCE解：如图2，过D点作DE∥AC交BC的延长线于E，则由已知得：AD=CE，图2DE=AC，BD⊥DE。∴BE=222213cmBDDE512∴梯形中位线的长等于1(ADBC)1=6.5cm。应填6.52BE2思考：分别过A、B、C三点作对角线的平行线，是否可以解出此题呢？（提示：可以，解法同上。）三、过上底的两个端点作梯形的高线，将梯形分成两个直角梯形和一个矩形。AD例3、如图3，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，BC=BD，AD=AB=4

4、cm，∠A=1200，求梯形ABCD的面积。BEFC解：如图3，分别过点A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别是E、F，则由已图303cm，知易得：∠EAB=∠FBD=30，在Rt△AEB和Rt△BFD中，AE=23cm，BC=4∴BD=BC=43cm，第1页共4页112。∴梯形ABCD的面积S=(ADBC)AE(443)23(1243)cm22四、延长梯形两腰交于一点，构成两个相似三角形。例4、如图4，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=900，AB=a，CD=b，E、F分别是AB、CD中点，求EF的长。G解：如图4，延长AD、BC交于G。连结GE、GF

5、。DC1E0CD，GF=AB∵∠A+∠B=90，∴∠AGB=900。∴GE=122AB∴GE=DE，GF=AF，∴∠GDE=∠AGE，∠GAF=∠AGF。F图4∵AB∥CD，∴∠GDE=∠GAF，∴∠AGE=∠AGF。∴G、E、F三点在同一条直线上，∴EF=GF-GE=1AB-1CD=1（a-b）。222说明：此题也可以通过过点E平移两腰来求得，请同学们自己练习。五、连结上底的一端点与一腰的中点，延长交下底的延长线于一点，将梯形割补成与之等积的三角形。AD例5、如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别为AB、DC的中点。MN1（1）求证：MN∥BC，M

6、N=（BC+AD）；2PBC（2）若AD：BC=1：2，四边形ADNM的面积等于10，试求四边形MNCB的面积。图5解：（1）连结DM并延长交CB的延长线于P，则由已知易证△ADM≌△BPM，11PC=1∴DM=MP，AD=BP，又DN=NC∴MN∥PC且MN=PC，∴MN∥BC，MN=（BC+AD）；222313x）·高]：（2）设AD=x，则BC=2x，∴MN=x。由四边形ADNM的面积：四边形MNCB的面积=[（x+222[1（3x+2x）·高]=5，得：四边形MNCB的面积=10·7=14。2275六、作梯形的中位线，将一个梯形转化成两个梯形。例6、如图

7、6，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CDBFA于E，连结BE，且BE平分∠ABC。求证：AB=AD+BC。证明：取AB中点F，连结EF。∵AD∥BC，0∴∠DAB+∠CBA=1800CED∵∠CBE=∠ABE，∠DAE=∠BAE，∵∠EBA+∠EAB=90∴∠AEB=900∴BF=EF=AF∴AD∥EF∥BC，EF是梯形的中位线，图611∴EF=AB∵AF=BF，CE=DE，∴EF=（AD+BC）∴AB=AD+BC。22七、连结上底的一端点与一条对角线的中点，延长与下底交于一点，构造全等三角形。第2页共4页ADEFHGBCK图7例7

8、、如图7，在梯形ABCD