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1、梯形中常见辅助线的作法梯形是一种特殊的四边形，它是平行四边形和三角形的“综合”。可以通过适当地添加辅助线，构造三角形、平行四边形，再运用三角形、平行四边形的相关知识去解决梯形问题。下面就梯形中辅助线的常见添加方法举例说明，希望对同学们有所帮助。一、平移对角线：平移一条对角线，使之经过梯形的另一个顶点。例1如图，在等腰梯形ABCD中,AB/7CD,AC丄BD,梯形的高CF为10,求梯形ABCD的面积。分析：由于等腰梯形ABCD的对角线AC丄BD且AOBD,所以我们可以平移一对角线构造一等腰直角三角形，通过验证发现梯形的面积与这个三角形的面积相等，因此只需求出三角形的面积即可。解：过点C
2、作CE〃DB交AB的延长线于点E.VDC//AE:・・・四边形CDBE为平行边形；.・.DB二CE,DC二BE・・•梯形ABCD为等腰梯形；・・・AD二BC,AC二BD；AC=CEAAADC^ACBE即SAADC^SACBE；AS梯形ABCD=SAACETAC丄BD,CE//DB；・・.AC丄CE；AAACE为等腰直角三角形・・・CF为高，・・・CF也为等腰直角三角形ACE斜边上的屮线VCF=10,AAE=20・・・S梯形ABCD二SZXACE二2AEXCF二2X20X10=100二、平移一腰或两腰：平移一腰，使之经过梯形的另一个顶点或另条腰的中点；或者同时移动两腰使它们交于一点。例
3、2如图，等腰梯形ABCD两底之差等于一腰的长，那么这个梯形较小的一个内角是（）A.90°B.60°C.45°D.30°解析：由条件“两底之差等于一腰的长”，可平移一腰。如图所示平移DC到AE,AE交BC于E。可知BE=BC-AD=AB.又AB二DC=AE.故AB=BE=AE,AABE是等边三角形。所以ZB=60°.故选B。HFG解析：要证ZB二ZC,可把它们移到同一个三角形屮，利用等腰三角形的有关性质加以证明。过点E作EH〃AB,EG〃DC,分别交BC于H、Go・・・AD〃BC,・・・四边形ABHE和四边形EGCD都是平行四边形。・・・AE二BH,ED二GC。又E、F分别为AD、BC
4、的中点，所以AE二ED,BF二FC・・・BH二GC,BF-BH=FC-GC,从而FH二FG.又EF丄BC,所以EH二EG,故ZEHF二ZEGF,得ZB=ZC。三、延长两腰：将梯形两腰延长相交构造三角形。例4在梯形ABCD屮，AD〃BC,ZABC=ZBCD=60°,AD+BC=30,BD平分ZABC,求梯形的周长。解析：延长两腰相交于点E,如图，因为ZABOZBCD二60°,故ZE=60°,ZBCE为等边三角形。又BD1平分ZABC,所以BD垂直平分CE,所以CD二2BC。又AD〃BC,故厶ADE为等边三角形。AD二ED二CD.由AD+BO30,知CD+2CD二30,CD=10oE/
5、'、、・・・梯形的周长为30+AB+CD二30+2CD二50。四、作梯形的高：过梯上底的两个端点分别作梯形的高。例5已知等腰梯形的一个内角为60°,它的上底是3cm,腰长是4cm,则下底是。解析：如图，梯形ABCD中，ZB二ZC二60。,AD二3cm,AB二DO4cm,过点A、D分别作AE丄BC,DF丄BC,垂足分别为E、F则有ZBAE=ZCDF=30°,BE=FC=2AB=2cm。EF・•・BC二BE+EF+FC二BE+AD+FC二7(cm).梯形中添加辅助线的方法有很多，同学们在学习的过程中还须活学活用，也可以以口诀的形式记忆下来:“移动梯形对角线，两腰之和成一线；平行移动_条腰
6、，两腰同在“△”现；延长两腰交一点，“△”中有平行线:作出梯形两高线，矩形显示在眼前；己知腰上一中线，莫忘作出中位线”。'一’
