北师大版(文科数学)定点、最值与范围问题名师精编单元测试.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1．(2018届湖南益阳调研)已知抛物线C：y2＝4x，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线C于点P1，P2和点P3，P4，线段P1P2，P3P4的中点分别为M1，M2.(1)求线段P1P2的中点M1的轨迹方程；(2)求△FM1M2面积的最小值；(3)过M1，M2的直线l是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．解：(1)由题设条件得焦点F坐标为(1,0)，设直线P1P2的方程为y＝(x－1)，≠

2、0.联立y＝kx－1，得22－2(2＋22＝0.y2＝4xx)x＋＝[－2(2＋224222)]－·＝16(1＋)>0.设P1(x1，y1)，22，y2，1(x，y)，P(x)M12，则x＝(x1＋x2)＝1＋22k2y＝(x－1)＝k，12所以x＝1＋2y.所以线段P1P2的中点M1的轨迹方程为y2＝2(x－1)(x>1)．由知点1的坐标为22，用－1代换可得M2的坐标为(1＋22，(2)(1)Mkkk－2)．＋22222所以

3、FM＝2k2＋＝1＋k，－

4、12－21kkk

5、FM2

6、＝2k22＋－2k2＝2

7、

8、1＋k2，因此S

9、△FM12＝11·2＝1＋

10、k

11、≥4.M2

12、FM

13、

14、FM

15、2

16、k

17、当且仅当

18、k

19、1＝

20、

21、，即＝±1时，S△FM1M2取到最小值4.1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯k(3)过定点．当≠±1时，直线l的斜率为′＝1－k2，所以直线l的方程为y＋2＝1－kk2(x－22－1)，即y2＋(x－3)－y＝0，①当x＝3，y＝0时方程①对任意的(≠±1)均成立，即直线l过点(3,0)．当＝±1时，直线l的方程为x＝3，也过点(3,0)．所以直线l恒过定点(3,0)．x2y26

22、2．已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为3，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－2y＋6＝0相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线y＝(x－2)(≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x→2→→为定值？若存在，试求出点E的坐标和轴上是否存在定点E，使得EA＋EA·AB定值；若不存在，请说明理由．6c66解：(1)由e＝3得a＝3，即c＝3a，①又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，且与直线2x－2y＋6＝0相切，∴a＝66，代入①得c＝2.＝4＋2∴b2＝

23、a2－c2＝2.x2y2∴椭圆C的方程为6＋2＝1.x2y26＋2＝1，得(1＋322－122＋2－6＝0，(2)由)x12xy＝kx－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，12k2x1＋x2＝1＋3k2，∴2－26，x1x2＝12k1＋3k2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯→2→→假设存在定点E(m,0)，使得EA＋EA·为定值，AB→2→→→→→＝→→＝3m2－12m＋10k2＋m2－6为则有EA＋EA·＝EA·＋AB·2AB(EA)EAEB3k＋1定值，要

24、使上式为定值，则应有3m2－12m＋10＝3(m2－6)，7即m＝3.→2→→25此时EA＋EA·＝m－6＝－9.AB75所以定点为3，0，定值为－9.x223．(2018届贵阳市监测考试)设点F(－c,0)，F(c,0)分别是椭圆C：a＋y122＝1(a>0)的左、右焦点，P为椭圆→→2的最小值为0.C上任意一点，且PF1·PF(1)求椭圆C的方程；(2)如图，动直线l：y＝x＋m与椭圆C有且仅有一个公共点，作F1M⊥l，F2N⊥l分别交直线l于M，N两点，求四边形F1MNF2的面积S的最大值．解：(1)→→→→设P(x，y

25、)，则PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)，所以PF1·2PF222a2－122，x∈[－a，a]，＝x＋y－c＝2x＋1－ca由题意得，1－c2＝0，c＝1，则a2＝2，x22所以椭圆C的方程为2＋y＝1.2(2)将直线l的方程l：y＝x＋m代入椭圆C的方程x2＋y2＝1中，得(22＋1)x2＋4mx＋2m2－2＝0，由直线l与椭圆C有且仅有一个公共点知＝162m2－4(22＋1)(2m2－2)＝0，化简得m2＝22＋1.3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

26、⋯⋯⋯⋯设d1＝

27、F1＝

28、－k＋m

29、，d2＝

30、F2＝

31、k＋m

32、M

33、N

34、.k2＋1k2＋11①当≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则

35、d1－d2

36、＝

37、MN

38、·

39、tanθ

40、，所以

41、MN

42、＝

43、k

44、·

45、d1－d，2

46、11－d·＋d2

47、m

48、＝4

49、m

50、＝42＝22＋1，∴S＝·＝22∵m2

51、