北师大版(理科数学)9.11定点、定值、探索性问题名师精编单元测试.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x221．(2018郑·州质量预测(一))已知直线l与双曲线－y＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐4近线交于M，N两点，则→→)OM·ON的值为(A．3B．4C．5D．与P的位置有关解析：选A.依题意，设点P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中x02－4y02＝4，则直线l的方程是x0x－y0y＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为14y＝±x.2x＝2x＝2→→①当y0＝0时，直线l的方程是x＝2或x＝－2.由x2，得2，此时OM·ON＝(2

2、，－y＝0y＝±14－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线l的方程是→→x＝－2时，OM·ON＝3.1（x0x－4）②当y0≠0时，直线l的方程是y＝1(x0x－4)．由y＝4y02，得(4y02－x02)x2＋8x0x4y0x－y2＝04－16＝2222→→0(*)，又x0－4y0＝4，因此(*)即是－4x＋8x0x－16＝0，x－2x0x＋4＝0，x1x2＝4，OM·ON＝x1x2＋y1y2＝x1x2－134x1x2＝x1x2＝3.4综上所述，→→OM·ON＝3，选A.2．(2018湖·南湘中名校联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点

3、为F，△ABC的顶点都在抛物→→→0，则1＋1＋1＝________．线上，且满足FA＋FB＋FC＝kABkACkBC解析：设A(x，y，y，yp，0→→→，得y＋y＋y＝0.1)，B(x22，由FA＋FB＝－FC12)，C(x33)，F123因为k＝y2－y1＝2p，所以k＝2p，kBC＝2p，所以1＋1＋1＝y1＋y2＋y3＋y1ABx2－x1y1＋y2ACy1＋y3y2＋y3kABkACkBC2p2p＋y2＋y3＝0.2p答案：03．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.(

4、1)求E的方程；→→(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且OA·OB＝－16，求证：直线AB恒过定点．1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解：(1)设P(x，y)，则x2＋（y－2）2＝(y＋1)＋1?x2＝8y.2(2)证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线AB的方程代入x2＝8y中，得x2－8kx－8b＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b.→→22x1x22＝－16?b＝4，OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1

5、x2＋＝－8b＋b64所以直线AB恒过定点(0，4)．223，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过4．椭圆x2y2＝1(a>b>0)的离心率为P点斜C：a＋b54交C于A，B两点．当→→41率为的直线lm＝0时，PA·PB＝－2.5(1)求椭圆C的方程；(2)证明：

6、PA

7、2＋

8、PB

9、2为定值．解：(1)因为离心率为35，所以b＝4.a5当m＝0时，l的方程为y＝4x，5222代入x2＋y2＝1并整理得x2＝a.ab2设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，→→22＝－41241a2PA·PB＝－x0－y025x0＝－·2.25→→41又因为PA

10、·PB＝－2，所以a2＝25，b2＝16，椭圆C的方程为x2＋y2＝1.25165(2)证明：l的方程为x＝4y＋m，22xy代入＋＝1，并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则

11、PA

12、2＝(x1－m)2＋y21＝41y21，162⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2412同理

13、PB

14、＝16y2.224122412414m216（m2－25）则

15、PA

16、＋

17、PB

18、＝16(y1＋y2)＝16[(y1＋y2)－2y1y2]＝16·－5－25＝41.所

19、以

20、PA

21、2＋

22、PB

23、2为定值．x2y21．(2018·原市模拟太)已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是3正三角形的三个顶点，点D1，2在椭圆C上，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，P两点，与x轴，y轴分别相交于点N和M，且

24、PM

25、＝

26、MN

27、，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆C于点B，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．b＝3c解：(1)由题意得1922＋4ba＝1，2

28、22a＝b＋c222b＝3解得，所以椭圆C的方程为x＋y＝1.a2＝443(2)存在这样的直线